数学史：从象牙塔到小学课堂

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数学史：从象牙塔到小学课堂

作者：小学数学特级教师  江苏省启东市教育局教研室   蔡宏圣

（资料来源：http://blog.ntjy.net/my_blogs/25494/）

摘要： 数学史走进小学数学课堂是一种必然。教师、学生、教学内容是课堂教学的三要素，数学史可以通过这三要素，给数学课堂注入数学的深刻和历史的厚重。数学史在小学课堂中的运用有链接式和融入式两种方式，由链接式到融入式需要教师进行艰辛的再创造。
关键词：数学史小学数学课堂教学
数学史之于数学教学的价值，早在19世纪就被一些西方数学家所认识。1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM。30多年来，随着HPM研究的不断深入，数学史和数学教学的结合已是一种国际数学课程改革的趋势。〔1〕在此趋势的演绎下，数学史走进小学数学课堂是一种必然。当今小学数学的教学实践中，倒也不是没有数学史的运用，一些优秀老师在上研究课或示范课时，往往在原先的教学设计之外，加一点数学史的知识，借以给课增加些文化色彩。这种方式是否充分展示了数学史的教育价值？是否还有数学史运用的更好方式？总之，数学史怎样走入小学数学课堂，已是理论演绎和实践反思双向互动中生成的迫切课题。
数学史外在于课堂教学要素的运用方式，我们不妨称之为数学史运用的“链接式”。 HPM的研究表明，数学史的教育价值在于激发学生学习兴趣，引导学生更好地理解数学，把握和了解数学家们的原始思想，感悟数学思想的魅力。但数学史运用的链接式，在原先的教学中简单地加入数学史实，虽然说是种很好的探索，但却不能取得这些教育功能，因此，其运用的机械生硬终究有时髦盲从的嫌疑。鉴于此，本文重点探讨数学史怎样内在于课堂教学的基本要素，成为数学文化的载体、数学课程的有机组成部分（数学史走进课堂的这种方式，我们称为“融入式”）。

一

课堂教学是师生为实现教学任务和目的，围绕教学内容，共同参与，通过对话、沟通和合作活动，产生交互影响，以动态生成的方式推进教学活动的过程。在此过程中，教师、学生、教学内容是不可缺失的三个基本要素，而至于教学方法、教学手段等课堂教学的构成元素，都派生于这三个基本要素间的互动。因此，下面我们重点讨论数学史之于这三个基本要素的价值。
（一）对于教师，数学史是调适数学观念的重要基础
关于教师在课堂教学中的地位和作用，我们有很多种提法，但无论怎样，我们都不可否认教师的价值引领作用。正由于教师在教学活动中发挥了主导作用，教师所具有的观点与信念，特别是关于“数学”以及由此派生出的关于“数学教学”的观念，对于数学教育就有着特别重要的影响。换言之，无论是有意识还是无意识，教师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样的方式从事数学教学活动。这正如英国数学教育家斯根普所言：“我们并不是在谈及关于同一数学的较好和不那么好的教法。只是在经过很长一段时期以后，我才认识到并非这样的情况。我先前总以为数学教师都在教同样的科目，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在‘数学'这同一名词下所教的事实上是两个不同的学科。”〔2〕按照英国学者欧内斯特的观点，同样是数学，教师们对此的认识有以下三种迥异的看法：〔3〕
    动态、易谬主义的数学观：即认为数学是人类的一种创造性活动，从而，数学主要地就是一种探索活动。静态的、绝对主义的数学观：即指数学是无可怀疑的真理的集合，这些真理并得到了十分严密地组织。
工具主义的数学观：即把数学看成适用于各种不同场合的事实性结论、方法和技巧的简单汇集。
当然，一线教师的数学观念未必是自觉的、系统的理性认识，更多地是朴素的、零散的朦胧认识。但综合起来看，教师们更倾向于把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科。〔4〕这种认识的形成主要来自于自身的数学学习经历和教学经验。
数学，在大多数人的记忆中，留下的印象是抽象和艰涩；在情感上，刻下的痕迹是枯燥和头痛。为什么会如此？以下两点是主要原因：
    其一，数学要能广泛应用，就必须舍去情境、舍去个人化的理解，建立起统一的形式性与符号化，因而，使得数学变得越来越抽象，变得离直观越来越远。
    其二，数学的学科特性是周密和严谨，缘于其公理化的要求。数学家在传播数学思想的时候，有个习惯，或者说在数学圈子的共识：要以充分一般的方式陈述结果，必须建立起一套有关定义和抽象概念的完整体系。这种要求大约在上世纪30年代的布尔巴基学派开始并加以固定的。〔5〕这就意味着，原始的例子必须舍去。
    两点结合起来看，数学的抽象、严谨、周密只是一门数学分支成熟立说时的外衣，在其诞生之初，充满着浓郁的生活常识的痕迹，认识过程充满了曲折、猜测、直观，乃至错误和不可思议，并不是一副冷峻理性的样子。数学史认为，人类使用十进制乃是“一种生理上的凑巧”，①类似的史料在初等数学的发展过程中不在少数，它告诉我们，一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍生的痕迹，例如用算筹的不同颜色来区别正负数；源于连续量的分割，所以叫分数；最初的计量单位都和人身体上的器官有关，等等。
数学原来有两重性，即数学内容的形式性和数学发现的经验性。有了这样的认识，一个数学教师就会在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行，关注儿童们生活经验的现实，寻找数学知识的逻辑源头，领悟其间的数学过程和思想方法，于是，组织的数学教学顺应着生活事理的逻辑走向，孩子们的学习可以像呼吸一样自然和朴素。笔者曾经执教过“乘法的初步认识”，在引导孩子们认识了“相同加数的加法”后，要求学生解决问题“一张电脑桌上放在两台电脑，9张桌子上放着多少台电脑？”学生们马上列出了9个2相加的算式。但在写算式中，情不自禁地用了很多辅助性动作，有的一边数2的个数一边写算式；有的先一下子写了几个2相加，然后停下来数还缺几个2，接着再写。这些小动作说明了孩子们已经感受到了其写法的麻烦，在此基础上，要求孩子们思考能不能把算式写得简单些。不就是写简单吗？学生调动相关经验，写了3个、4个2相加，然后在算式后面加上了“……”、“等等”。“新写法写简单了，但看不出有9个2相加呀，哪怎么办？”孩子们把“……”、“等等”擦去，直接把算式圈了起来，外面标上“9个”。最后，要求学生思辨，新写法中能不能把“9个”写成“10个、15个”？能不能把“2”写成“6”或者其他数？至此，乘法的意义水到渠成。学生们由“加法”再创造出“乘法”并不是逻辑演绎的结果，而是依据生活经验和事理自然衍生的结果。②因此，一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面上零散的、片面的数学观念，虽然形成的先进数学观念也不系统，但在某一方面能更切合数学发展的本来面目。数学史起码提供了这样的视角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中，也许在课堂中我们看不到显性的、事实性的数学史实，但却能影响着一个教师的数学教育思想-----努力用浅显的情境去凸显数学思想的深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见厚重，使得教学能焕发出思想的光芒、经典的力量。
（二）对于学生，数学史是把握思维历程的独特视角
走进儿童，读懂儿童是教育促进儿童发展的基本前提。就数学学习来说，读懂儿童不是泛化意义上追求对儿童的理解，而应突出地表现为细腻地、科学地对儿童在数学学习中思维活动做深入的了解和分析，大致把握儿童在数学学习中可能出现的困难。虽然，教学经验和访谈调查也能获取儿童如何学习某知识的大致情况，但笔者认为数学史在其中的独特价值是不可替代的。早在19世纪，德国生物学家海克尔（Haeckel E，1843-1919）就提出一个生物发生学的定律：一个个体的发育史会重蹈其种族的发展史。这运用在数学学习中，就是学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似，特别是历史上数学家们所遇到的困难，正是学生们遇到的学习障碍，因而，著名数学史家M.克莱因（M.kline,1908-1992）提出“历史是教学的指南”。匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚（G. Polya,1887-1985）则指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”
例如，拿认识负数来说，读懂儿童应该要思考如下的问题：在最初认识的时候，有哪些困难？难，难在哪里？使用负数到接纳负数，那是两个不同的认识阶段。那接纳负数，意味着在理性认识上要建构起哪些认识？人类完成了一次认识的跨越之后，回顾头来看往往认为那是理所当然的事情，因此，作为教师要准确把握学生在初次学习中的学习障碍就有难度，而历史上数学家们在当初认识提升的过程中，留下的困惑和挫折却为我们了解此问题提供了独特的不可替代的视角。在数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的人不在少数，其中不乏当时的大数学家。是什么阻碍着数学家们在理性上接纳负数？德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel，1487-1567）在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是 1表示一件物体，2表示两件物体……，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识。从现代数学数系扩展的理论看，每引入一种新数都要符合数系扩展的一系列公理原则，但这是后话。人类最初要在数学上接纳负数，碰到的首要问题是：怎么把负数和0的意义沟通起来！这可以从多个数学家的困惑中进一步窥见，例如帕斯卡认为：从0减去4纯粹是胡说！笛卡尔也认为负数是“不合理的数”，19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”。 〔6〕可见，认识负数的教学，一定要在具体经验的层面上引导学生体会负数和0的关系，抓住了这点，负数的意义才能和学生认知结构中已有的数系沟通起来，才能达到数学理解的层次。
关注数学历史中人类认识的挫折和失败，可以据此琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走过的弯路、碰到的认知障碍等等，为准确把握学生学习的思维历程提供另一种可能。这样做，带来的另一个好处是，数学在孩子们的心目中变得了温情起来：数学家们原来在历史上也遇到过失败和挫折，数学上的点滴发展原来都是迷雾中摸索前行的结果。事实上，数学史的确传递着这样的信息：数学不过是人类的一种文化活动，人人可学，人人可做，尽管并非人人都有数学家的才能。学生们能体会到这些，将会获得顽强地深究问题的勇气，不会因为自己的所思所感一时还模糊而产生学习焦虑和失败感。这些对于学生们的数学学习来说，同样是很有价值的。
（三）对于教学内容，数学史是厘清数学本质的厚实背景
课堂教学中的“教”与“学”无论是怎样的互动关系，都是围绕着教学内容展开的。在哲学层面上，有这样的数学教育规律：问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。〔7〕研究所教内容的数学本质，是数学教学的永恒话题。
如前所述，课堂中我们所接触到的数学知识体系，是经过精心组织的公理化的结果，已经和其历史过程割裂开来。但一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它的最终形式化表述，普通人就很难深入把握其确切的本质意义。而不能把握所学知识的数学本质，那也就失去了数学学科的立足根基。抽象的数学概念只有放在历史背景中，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才能更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累来支撑其建构概念的全部含义。因而，英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！〔5〕例如，“用字母表示数”在教材配套的教师用书中，对其重要作用表述为这是人类认识的一次飞跃，但教师实际上很难理解其真正的意义。反而有教师认为，用字母表示数是因为不知道这个数是多少。原来在小学数学知识体系中，字母的运用主要是在解方程中用来表示未知量。可见，脱离了某知识的历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其数学本质。而放在历史的长河中，才体会到方程的解答最早是古阿拉伯数学家花拉子米用文辞叙述的，之后是古希腊数学家丢番图用字母的缩写表示的，直到17世纪才由法国数学家韦达不仅用字母表示未知量，而且用字母表示系数，从而实现了人类认识的跨越，打开了近代代数学的大门。换言之，用字母表示数的实质是符号化，绝不是用字母替代某数量。由此，教学“用字母表示数”的要义显然在于让学生理解，一个已知的量为什么还要用字母表示，理解了这点才能实现学生认识由具体向形式化的飞跃。③实际上，不仅仅是“用字母表示数”，数学中战略性概念的建构，其背后都闪烁着数学思想的熠熠光芒，都是数学认识上的一次重大突破，脱离了历史背景，要深刻把握其内涵都不是易事。
综上所述，数学史可以内在于课堂教学的要素中，成为数学课程的组成部分，润物无声般地进入课堂，使数学课堂折射出数学的深刻和历史的厚重。

二

应该说，数学史运用的链接式和融入式虽然在层次上有区别，但相互间并不对立排斥。从我国广大一线数学教师的数学史修养的现实看，链接式的运用还是必由的一个阶段，但是我们不能因为这个原因而放弃探索数学史运用的更好方式，因为其教育价值终究有限。更何况，小学数学中引入数学史不是为了数学史的教学，而是为了数学的教学。从这个意义上说，数学史对于数学教学来说，还只是重新应用和思维加工的材料。一个教师知道了一段数学史实，他设计的教学能有多大的创新性和发展性，取决于他在研读数学史中的再创造程度。这其中的策略有：
（一）基于数学教育，即数学史的研读要确立为了数学教学的价值取向
同样研究数学史，为了历史和为了教学这是两种完全不同的价值取向。我们现在所看到的绝大多数数学史，立论之基都是为了历史，所以更关注史实的真伪，所研究的内容也更多地是数学发展史上重要的数学事件、数学人物。而为了教学的数学史研读，是为了站在历史的高度，厘清知识的来龙去脉、数学思想的演进走向，更好地把握住所教数学知识的知性本质，以求得我们的数学教育能注入深刻和厚重。所以，为了教学的数学史研读，是立足于现实中的“人”而去关注历史中的“人”和“事”。要通过历史上不同数学事件的比较，提炼数学思想发展的规律，不断优化自己的数学观念；要透过某知识历史演进的脉络，提炼出人类认识逐步提升的顺序；要善于抓住历史的表象，立足于认识论的角度多些追问（例如数的认识过程都是漫长的，但人类认识负数为什么比起认识自然数和分数来得更为曲折和艰难？），以及透过历史上人类认识曾经走过的弯路、数学家们的挫折和困惑，提炼出人类认知某知识的障碍；要立足于“给孩子们正确的数学观念和良好的学习情感”的视角，捕捉有教育意义的历史故事和历史事件。研读所依据的材料不是原始的数学史料和文物，而是各种版次的数学史著作；研读方法上要围绕同一个事件，研读不同版本的数学史，从不同的数学史著作中丰富此数学事件的内涵，更要参考数学史上数学家的传记等资料，通过历史上典型个体的思维过程的细述，用多种资料相互考证和补充，从而“复原”古人的数学思想方法和思维提升历程。
数学教师在教学中运用数学史的困难，不仅仅在于数学史的研究成果不能直接用于数学教学，还有一个重要原因是一线教师可以占有的数学史料有限。小学数学中的绝大多数知识点，按照数学史界的说法，大都是数学的萌芽期（公元前600年以前）和初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）的内容，由于时间久远，流传下来的数学原始文物有限，因此有关的研究不够深入。其二，许多知识点形成的专题史往往被纯数学史家所忽略，很少完整地见于一般的数学通史著作。为此，在缺乏资料的情况下，不妨运用“逻辑推演”的方式对某知识发展的历史过程作出解释。一方面可以站在现代数学的高度，对古人数学思考和方法的走向进行数理分析，以合情推理来把残缺的历史资料统合起来；另一方面，可以依据数学发生发展的规律，对某知识的形成作出解释。上文“乘法的初步认识”的案例中，逐步把连加算式写简便的过程，根本无法从数学史中获取，但依据萌芽时期的数学源于生活常识、生活事理的特点，作出了那样的猜测，进而设计在教学中。当然，这种逻辑推演出的历史过程，对于数学史来说没有多大意义，但对于数学教学来说却是有启示的。
（二）宽于数学史实，即数学史的考察要和其它数学教育理论结合在一起
数学史的研读，开辟了设计数学教学的另一种视角，它并不排斥数学教育的其他理论。从历史上看，算术、代数、几何、三角和微积分都不是通过操作形式化的符号而产生的，任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的，数学家大都也是直观地思考问题，然后才用演绎的形式，用文字、数学符号和形式逻辑来表述他的论点。所以，数学家庞加莱说：“没有直观性，年轻人在数学科学的理解上就不会有一个开端；他们就不能学会热爱它；他们将在其中看到一个空洞的字谜游戏；没有直观性，他们将永不会应用数学。”数学教育心理研究侧重于解剖教学情境中学生的内部认识过程，无独偶有，它得到的研究结论是：数学学习时，一个定义可以把一个数学概念从其他知识系统中凸显出来，但孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。实际上，“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号”，总是运用模糊的表象进行思考。〔8〕数学史所揭示的数学思想发展历程，其最终可以归结为数学家们的思维发生、发展的过程，因而，数学发展的本质和数学教育心理等其他数学教育理论所揭示的认知发展规律是相通的。也正是这样的原因，HPM研究才得以能够立足并不断深入。所以，为了数学教学的数学史研读，不能被局限在数学史的圈子里，要用宽于数学史的视野来读数学史，这样才能更善于从数学史中汲取教学的启示，更好地获取人类认识提升的过程和细节，把握学习过程中可能存在的学习困难。前文所说为了数学教学的数学史研读，可以运用逻辑推演的方法来获得人类认知提升的细节。逻辑推演所依托的一方面是数学科学本身的逻辑，另一方面就是数学教育心理学等数学教育理论。例如，人类在认识负数中的认知障碍，没有原始的历史文献来说明就是因为被囿于0的基本意义，从数学家们认为负数荒谬的说法中，结合人认知过程中的负迁移之说，我们才大致作出了这样的判断。
（三）融于教学现实，即数学史的运用要和教学的现实状况融通在一起
不仅研读和考察数学史是个再创造的过程，找到的即使是很精彩的数学史料，要用在课堂中还有个再取舍和再加工的过程。因为从历史中汲取的教学素材和启示，只不过提供了数学教学的另一种可能，能否成为现实的课堂，还应该切合教学的现实状况----课程标准的实际要求、这一内容的教科书编写要义、学生可能的接受水平等，即在数学史和教学现实状况间应该达成一种平衡，以顺应课堂教学的特点。课堂教学中运用数学史，不是完全再现历史历程，而是再现数学发展进程中的经典瞬间，让学生接受数学思想的洗礼。为此，荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔说：“孩子应该重复人类的学习过程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。”〔9〕因此，这其中重要的是符号化而不是符号本身，是语言描述而不是语言本身，是定义化而不是定义本身，如此等等。就像在“乘法的初步认识”中，学生只要自己体会到了新写法只要写清楚相同加数和它的个数那就是难能可贵的，而不必苛求学生还需独立地提出“乘法”的名称和“乘号”的符号。就笔者的体会而言，数学史也只有和教学现实融合在一起，才能明晰课堂教学的整体思路，不然教学就会迷失在浩瀚的数学史料中，失去应有的教学目标。例如“用字母表示数”，考察数学史知道了代数学发展经历了“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个历史阶段，而且对于符号意义上用字母表示数的价值，也只有在另两个历史时期的比照中才能体会得更加真切，那怎么浅显地让学生感受到这点呢？笔者仔细分析了学生已有的字母运用的各种经验，发现他们以往的经验主要是用字母来表示特定的意义，例如CCTV用来表示中央电视台，S表示面积，ml表示毫升等，而且还有一种固有的认识，往往认为不知道一个数量到底是多少才用字母替代。由此，“用字母表示数”的教学何去何从就很清晰了，通过教学要让学生认识到现在可以用字母表示一定范围里变化着的数，而且不是因为未知才用字母表示，而是这样的数太多了，所以才用字母来概括这些数。③
尽管数学史不是解决一切数学教育问题的灵丹妙药，但它对于数学教育的促进作用已成大家共识。数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的高境界是数学思想的感悟和熏陶，因而，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更加丰富。在更为一般的意义上，数学教育不是数学与教育的简单叠加，我们需要在上位的教育学、心理学理论的演绎下，来考量数学教育的问题，但一般教育理论具有普适性的同时并不具备学科的针对性，因此，我们更应该从数学的视界----数学科学本体的、数学哲学的、数学史的、数学学习心理的，通过这些视界来引领数学教育走向深入和彰显学科特质。
注解：
①在数概念的发展过程中，人类首先用实物计数，再过渡到屈指计数。这期间，当意识到一个人的全部手指用完后，可以放一块石子，于是就解放了全部手指可以继续计数，“满十进一”的思想也就萌芽了。
②此案例的详细情况可参见拙作《文化视野中的小学数学教育实践于思考》，江苏教育，2004，（01B）：25-27.
③此案例的详细情况可参见拙作《和谐--小学数学教学设计的新视角》，课程·教材·教法，2007，（8）：37-41.
参考文献：
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出版社，1999.67.

----------该文已发表于2009年第2期《课程教材教法》