二十一世纪的数学

jssh365

二十一世纪的数学

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2014年9月18日

“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动” 数学界普遍认为希尔伯特是历史上最后一个数学全才，只有他能够在1900年发表那著名的演讲，提出了23个数学上有待解决的重大问题，对20世纪的数学产生了很大的影响。 100年之后，已经没有一位数学家能够或者敢于为21世纪整个数学的发展指出方向，所以在2000年，国际数学联盟组织了来自全世界的30位数学精英，集体撰写了《数学：前沿与展望》一书，希望该书能够从总结20世纪的数学中指出21世纪数学发展的一个大致趋向。　 但该书在前言中就指出，此书还是有不少遗漏的地方。此书指出的方向有多少是正确的，有多少错误的，到时候才会知道。人非神仙，谁能料事如神？就是希尔伯特的演讲，经100年的实践检验，也被证明有较大的失误。 在历史上，对数学应如何发展，一直存在两种不同的意见。著名数学家庞加莱认为，数学离开物理就会走入歧途，物理学不仅迫使人们面临大量的数学问题，而且能影响我们朝着梦想不到的方向前进。而另一位数学大师希尔伯特则认为，数学的发展主要是由于数学自身产生的问题，并提出一些他认为对数学有重要影响的数学本身的问题，即著名的希尔伯特23个问题。这使得以后许多数学家沉湎于寻找这些问题的答案。 阿迪雅（前英国皇家学会主席，三一学院院长，牛顿研究所所长）认为，20世纪下半叶数学的发展已经回归到“更多的庞加莱精神。强调几何的思维，甚至在代数与数论的领域也是如此。”我认为这是21世纪数学发展总的趋向。然而这仅针对基础数学而言。20世纪中数学已渗透到人类活动的许多方面，如物理学、化学、生物学、工程学、计算机科学、经济学、控制论、决策理论……难以尽列。日本大企业喜欢从大学数学系的毕业生中招聘管理人员，认为他们有逻辑的头脑，而逻辑思维在企业管理中是至关重要的。国际上，曾有好几位国防部长（包括美国的）是数学系毕业的。 阿迪雅说，“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动”，这是有根据的。 能否把21世纪数学的趋向说得更具体一些呢？这是大大超出我的能力所及。《数学：前沿与展望》是组织了30位最著名的数学家写成的，还是有许多遗漏的地方，特别是应用数学方面。我只能用统计的方法，根据此书中哪一方面的作者最多来预测基础数学在未来的主要趋向。 书中关于“数论”的作者最多，共有5位。看来在21世纪“数论”又将重登“数学的皇后”宝座。这与怀尔斯在20世纪末解决了历史上的大难题费马大定理有关。几百年来这个问题耗费了不少数学工作者的心血，毫无办法解决，以至于有一位哲学家把它称为人类思想的极限。他的意思是说这个问题非人类的思想所能解决。所以这问题的解决不但有科学的意义，而且有哲学的意义，即极限是可以突破，正如音障可以突破一样。下一世纪主攻的难题，自然是黎曼假设（即黎曼猜想），书中有好几位作者（包括不是数论方面的作者），都提出这个世纪难题。值得注意的是，正如阿迪雅所说，费马大定理的证明“强调了几何的思维”，而不是用陈法解决。这说明一个真理：知新才能创新。看来肯定或否定黎曼假设的证明也将如此。 书中另一个作者最多的领域是数学物理，共有四个半。如果加上序言的作者阿迪雅（他过去一直宣传数学物理的重要性）则有五个半。为什么会有半个呢？因为其中有一位作者，丘成桐——所写的题目是“几何与分析的回顾”，其内容多半与数学物理有关。 丘成桐近期的工作与现在数学物理最热门的超弦理论密切相关。当然，不论国内或国外的物理界都对超弦理论褒贬不一。2000年9月，阿迪雅在清华大学的杨振宁讲座上作报告，认为超弦理论是21世纪理论物理的主要方向。有意思的是杨振宁对超弦理论是属于不以为然之列。但是两人对21世纪的中国数学皆寄予厚望。　 书中对其他数学分支的展望，都只有一二篇，在这里也无法一一列举，但它们对数学家及数学政策的决策者会有很大的参考价值。