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2013年11月18日，本版刊登了朱永通先生《教师，何以在阅读中生存》一文，作为曾经的中学教师、小学校长、专业教育研究者，他在文中对现在的教师为什么不读书、现代教师为什么需要读书、现代教师怎么读书三个问题进行发问，为教师阅读问题提供了追本溯源的思考角度。一年后的今天，他再次以追问的姿态思考教师读书的问题。教师读书是个老问题，但只要思考不止步，更多教师过上与思想为伴的教书生活就不是乌托邦。——编者
■人既然生而有惑，就要有成长意识，力求想明白。读书当然是一条不错的成长路径，恰如流沙河先生所云：“读书如秉烛，固不能照亮每个角落，但总比摸黑好。”
■作为现代教师，应有读者意识，一是读懂我们所处的时代。二是读懂我们身边的人。
■人生有限，书籍无限，读书贵有问题意识。一则所读之书，无论名家佳构，还是学科专著，应有怀疑精神，不盲从权威的声音；二则带着问题去找书读，为自己的研究或思考做前期的准备。
■朱永通
成长意识：我们为什么要读书
三四年前的一个周末，特级教师朋友M到我家泡茶聊天。M一进门，就被堆得到处都是的书吓着了，他夸张地大呼小叫：“天呀，这么多书！老兄你看得完吗？”我笑而不答。M接着说：“你即使都看了，记得住吗？我要是像你这样，早成书呆子了，还评什么特级教师。”这回轮到我惊讶了：原来特级教师是“评”出来的，不是读出来的。我满心不是滋味，看着他问：“你上午吃了吗？”他答：“吃了。”我说：“从中午开始，你不用吃饭了。”他一脸莫名其妙。我继续说：“晚上也不用吃，总之从现在开始，你都不用吃饭了，你看，你吃那么多饭，都留在肚子了吗？”M恍然大悟，哈哈大笑。
此事过后，我一直在诘问自己：我为什么读书？教师为什么需要读书？难道仅仅是类似于娱乐的一种爱好？这些问题困扰我许久，直到遇到另一件事情后，才彻底明白。
一次聚会，一位当政协委员的朋友给我们分享他的提案：中小学，尤其是幼儿园，务必增加男教师数量，否则男孩子女性化的倾向将越来越严重，不利于社会发展。看着朋友激动的样子，我沉默不语，虽然直觉告诉我，这个问题没那么简单。
我翻阅很多资料后发现，关于这个问题，许多专家、学者也一直在关注、呼吁：中小学，尤其是幼儿园，“教师性别生态失衡，若不进行有效扭转，势必受到教育规律的惩罚”。（《增加男教师：我们必须行动》，潘健/《人民教育》2013年第20期）“事实上，在中小学，尤其是幼儿园，男女教师比例失衡，是一个全球性问题，美国、英国、澳大利亚、法国、意大利、韩国等国存在同样情况。”（《男教师，全球告急》，胡乐乐/《上海教育》2006年第1期）
一面是专家学者忧心忡忡的呼吁，一面是这种情况在全球的普遍存在。“存在，就是合理的”（黑格尔语），我的直觉或许是据此作出的反应。直觉不可靠，于是我找来大量生物学、心理学的书。一番猛“啃”后，终于想明白了这种情况存在的学理依据。
先说生物学上的理据。郑也夫先生在《神似祖先》一书的《有性繁殖与婚配制度》一章中提到生物界的“性别之争”时，曾就异性双方在生育问题上的不同特征作了详细介绍。从投入成本的多寡看，什么是雄性？什么是雌性？二者的定义是，双方各拿出一部分东西参与生育，谁拿出来的大谁就是雌性，谁拿出的小谁就是雄性。比如人类卵子的个头大概是单个精子的一百万倍，可见在制造一个婴儿中，雌性的付出大。从产出上看，就人类而言，雌性一生生育20次就是高限了。如此高产要求非常稳定的、健康的身体，并且不能有闪失，不能有间隔。当然，因为有多胞胎，子女的个数与生育次数不尽相同。世界上最高纪录是一个女子每次生育均是三胞胎，共生69个。但是一般而言女性生育的数量与男性比，毕竟差远了。男性最高纪录高达867个，是摩洛哥一个国王，他的儿子就有525个。从机会上看，假如两个性伙伴都很冷酷，生育出一个孩子，都不愿意看管，那么如果真的牺牲了孩子，雄性吃亏较小，因为雄性的机会还很多。而雌性牺牲了一个，就牺牲了全部子女的几分之一。从交配到生育，雌性的付出较大，所以“母亲更难下狠心推卸产卵或产后哺育的责任”（戴蒙德语）。
郑先生从进化生物学中开拓思路：直到人类这里，还是雌性哺育后代负的责任更多一些，因为在生理特征上，人类有与动物一以贯之的因素。我们可在郑也夫先生的思路上再往前一步：母爱是一种天性，尤其在孩子幼小的阶段，母亲对孩子的职责几乎是一种本能，所以，在幼儿园以及小学的中低年级，全球的学校不约而同倾向于选择女教师，正如有人所说：“教育是母性的。”
再说心理学上的理据。幼儿对母亲的依赖与依恋是一种生命本能。依赖，是指幼儿在生理需求上离不开母亲精心的照顾；依恋则是在依赖的基础上发展而来的情感、心理需求。心理学研究发现，从人一生的心理发展规律看，一个人若在童年期过早地失去对“母性”的依恋，容易有终身的社会情感缺陷。所以，孩子在精神发育的胚胎期，即心理依恋期尚未“断奶”时，尤其需要女教师母亲般的似水柔情来滋润。
问题是，今天的学校教育，一则过度追求分数，导致急功近利；二则大班化的班级模式，导致控制化管理，以致许多女教师变成了令学生畏惧的“母老虎”。此外，整齐划一的学校教育极其不利于男孩、女孩按各自生理、心理发展规律成长。无视这些客观因素，简单地归咎于女教师偏多，根本解决不了问题。
当我想明白了这个问题，那些困扰我多时的问题也就迎刃而解了：在人的每个生命阶段，都会遇到许多我们想不明白的问题，即使人到中年，也不可能像孔子所云“四十不惑”，人既然生而有惑，就要有成长意识，力求想明白。
作为现代教师，凡事要想明白，获得教育教学所必需的常识和学识，读书当然是一条不错的成长路径，恰如流沙河先生所云：“读书如秉烛，固不能照亮每个角落，但总比摸黑好。”
读者意识：我们要读什么书
在我看来，作为现代教师，应有读者意识，所读之书，当分两类，一类为“无字书”，一类为“有字书”。
先谈“无字书”。诚如丁学良教授所言，天下即为一本值得我们咀嚼一辈子的“无字书”。对于现代教师而言，这本“无字书”，至少应包含以下两个方面的内容。
一是读懂我们所处的时代，汲取现代公民所必需的基本营养。当前社会处于急剧转型阶段，呈现出前所未有的一些时代特征，如速度大于质量，焦虑大于幸福，快感大于思想。我们要清醒地意识到，这些仅仅是浮现在表面的时代碎片，并非时代的本质。冷静想来，这是一个转型的时代，也是一个重建的时代，社会、文化以及思想都处于重建之中，信仰、健康和家庭等关乎人的切身幸福的东西，都将回归到它们应有的位置上来，尤其是教育，将越来越凸显它形塑国民性格和社会形态的力量，正如李泽厚先生预言的“21世纪将是个教育学的世纪”。所以，作为现代教师，无须浮躁，一味随波逐流，也无须消极，但求得过且过，而须扪心自问：在一个属于我们的世纪，我准备好了吗？我如何去寻找和获得一个“更高的自我”（尼采）。
二是读懂我们身边的人，如同事、学生、家长、亲人等，于人情练达与世事洞明处，获得滋养专业成长所必需的修养和学问。比如说，有些教师教学水平很高，却不受学生欢迎，这样一来，教书虽不算苦差事，但也仅是职业性的机械劳动而已，一点也享受不到教书的乐趣和职业的幸福。若说与学生交往的秘诀，我想只有一个，即你是否读懂了学生，是否知道学生是怎么想的。女儿六年级毕业不久，我跟她到海边散步，聊到她们的小学老师时，我们讨论了“什么样的老师是学生心目中的好老师”这个问题。女儿说，一个好老师，当然要“理解我们”，一定是一个“会教、会管、会玩”的老师。围绕“会教、会管、会玩”，女儿列举了大量的例子，听得我目瞪口呆，又惊又喜。想不到平素文文静静的女儿，竟有如此独到的见解。如果一个教师对学生是怎么想的能了然于胸，怎么会成不了学生喜欢的“孩子王”呢？
再谈“有字书”。所谓“有字书”，专指记载人类精神财富的书籍（现在当指纸质书籍和电子读物）。读书，乃现代教师拓展视野、训练思维以及涵养胸襟之重要途径。依我愚见，现代教师应进行地基式阅读，即涉猎广泛，触类旁通，让自己的专业成长有更多更广的智慧支援，否则，一味在本学科知识上打转，容易故步自封、思想僵化。简而言之，现代教师至少应有“为人生”与“为专业”两个层面的阅读，当然，这两个层面并非水油分明，而是水乳交融，你中有我，我中有你。
“为人生”的阅读，是基于认识生命、健全人格，有益于变化气质，提升人生品质的阅读。这个层面上的阅读，可从哲学、生物学、人类学、社会学等书籍入手。比如，读哲学书，我们一定绕不过这个终极问题：认识你自己，即你是谁，从哪里来，到哪里去。我们虽然不可能从各个流派的哲学家那里获得标准答案，但从他们对人、人性、人生的意义等问题的追问中，我们不仅获得了滋润心灵的甘泉，看世界的眼光也会发生改变，有了在世间追求人生之丰满、幸福的勇气。常听人说，我们不能改变这个世界，就改变自己。事实上，改变自己，也就间接改变了这个世界，因为我们每个人都是这个世界的一分子。但改变自己，谈何容易，我们连认识自己都困难重重。所以，我的答案是：坚持一厘米之变，即从能改变的地方开始，一厘米一厘米地努力去改变，积少成多，就能引发更多更大的改变。
“为专业”的阅读，是基于获得常识、学识与见识，有益于丰富思想、提升教育素养的阅读。这个层面的阅读，可从教育学、脑神经科学、心理学、文学等书籍入手。比如，许多学校远未认识到运动的重要性，如果你恰好读了寓身认知心理学、脑神经科学等书籍，就可以把最前沿的研究成果，运用到改变学校领导的观念和老师的课堂上：“运动能增加通过脑部及全身的血液流量，而脑中血液充足对海马——形成长时记忆的区域——有效地发挥功能尤其重要。……研究表明，在学校多开展身体活动可以提高学生的学业成绩。”（引自《教育与脑神经科学》/华东师大出版社2014年版）如此读书，既可学以致思，又可学以致用，不亦乐乎！
问题意识：我们怎么读书
相对于一书难求的年代，今天浩繁如海的书籍，直教人油然而生庄子的慨叹：“吾生也有涯，而知也无涯。”曾在杂志上读到一则日本作家芥川龙之介的逸事：有一天，芥川龙之介突然莫名其妙地算，我这辈子剩下的时间到底还能够读多少书。他算出来是两三千本，大哭，说，从没想到人生是这么地有限！
是啊，人生如此有限，书籍如此无限，我们应怎么读书，才不致徒劳无获，白白浪费时间和精力？
就我有限的读书经验而言，读书贵有问题意识，其中包含两个层面的内涵：一则所读之书，无论名家佳构，还是学科专著，应有怀疑精神，不盲从权威的声音，不轻信流行的观点，保持自己的敏感，并屡有独到的见解；二则带着问题去找书读，即围绕近期研究的课题或思考的问题，去搜集相关的专著熟读深思，为自己的研究或思考做前期的准备。比如，为提升文本研读能力，福建厦门外国语学校的几位语文教师成立了读书会，以“教学文本解读及拓展性阅读”为课题，要求读书会成员每人挑选课文的三个作者作为研究对象，一年内集中精力读完三个作者的所有作品，包括相关的理论研究专著或文章。每次聚会，由一个成员主讲，介绍他最近研读的收获。
有问题意识的读书，目标明确，大致可采取以下两种读书方法。
一是“一本书之用”法，即读书不在于多，在于读透。读透，指精读一书，深入探析，逐次研求，不入其门，不获其趣，绝不释卷。这个方法，元人陈秀明在《东坡文谈录》有载：“东坡与王郎书云，少年为学者，每一书皆作数次读之。当如入海百货皆有，人之精力不能并收尽取，但得其所欲求者耳……”当然，一本书之用，还可作如是解：当今之好书，多不胜数。今天听人介绍一好书，即买来一读。明天又闻一好书，又买来读之。只要一听有好书，旋即买来。结果买书虽多，所读却不多，且往往难以完整读完一书，遑论取之精华，化为受用无穷之思想。所以，当养成今日书今日毕的读书习惯，一是书买来即读，不要搁；二是所读之书未毕，绝不另添他书，否则东一榔头，西一榔头，不断掘井，却永远没水喝。
二是“三化妙用”法，即善于消化，重在转化，关键是内化。一句话，书要读透，更要读通，要善于化书上死的学问，为活学活用的精神资源。比如，《圣经》有云：“柔和的舌头能折断骨头。”《道德经》亦云：“强大处下，柔弱处上。”如果这些金科玉律般的话语，仅仅作为训诫牢牢记在我们的脑中，除了可作为炫耀的资本外，无甚意义。而真正读通这些话语的教师，则不仅口诵心记之，且把它们化为“以柔克刚”的教育艺术，娴熟地运用于日常的教育教学活动之中。
要学会“三化妙用”法，大致有三种常见的做法。第一，循序渐进，分阶段推进。这个做法适合入职不久的教师，他们可先从教学技术类的图书入手，过渡到理论书的咀嚼上，最后进入“啃读”经典原著的阶段；第二，做读书札记；第三，以写、编促读，变读者为编者、作者。
（作者系教师阅读推广人）
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原文地址：基本活动经验的理解与行动作者：沙中掏金
——《江苏教育》（教学版）2011第12期“专题” 主持人：海安县实验小学 许卫兵 ◆主持人语 由“双基”走向“四基”是数学课程标准修订中的一项重大变化。在“四基”中，“基础知识”“基本技能”和“基本思想”我们比较熟悉且各自都有着较为明确的界定，而“基本活动经验”虽然我们也常挂在口头，但很多一线教师并不能说清楚它的涵义，甚至于专家们的意见也不统一，能有意识地围绕这一目标设计教学过程、组织教学活动的成功经验更少。 那“什么是基本活动经验？”“为什么要提出基本活动经验的课程目标？”“基本活动经验是怎样形成的？”“如何帮助学生积累基本活动经验？”“基本活动经验对于儿童数学素养提升的意义是什么？”对这些本原性问题是否有清晰的认识，将会深刻地影响着我们教学实践行为，决定着我们能否有效落实课程标准修订稿中提出的帮助学生积累“基本活动经验”的重要目标。 为此，我们专题策划了这次研讨，让我们共同走近专家、学者和一线同仁，听一听他们关于基本活动经验的内涵界定、现状审视、价值追寻、实践探索等方面的研究与反思，期望能引起大家的共鸣！
◆ 正 文 1 ．基本活动经验：羞答答的玫瑰红艳艳地开（许卫兵） 2 ．数学教学中如何体现积累活动经验目标（马云鹏） 3 ．对“基本活动经验”内涵与形成的思考（刘加霞） 4 ．关于获得数学活动经验的三点认识 （贲友林） 5 ．基本活动经验实践研究的辩证解读 （储冬生） 6 ．让“活动”带给“经验”生长的力量 （仲海峰） 7 ．帮助学生积累怎样的基本活动经验 ——以“分数的认识”教学为例 （仲广群）
001 基本活动经验：羞答答的玫瑰红艳艳地开 ▇ 许卫兵 新一轮基础教育课程改革历经十年后正进入“再出发”阶段。个人以为，“再出发”的重要标志当属课程标准修订稿的出台。无论是理念更新，还是内容调整，各学科课程标准修订稿中出现的若干变化毫无疑问将会成为今后一段时期课程发展、教材调整、教学改革、教师研修中关注的重点。 义务教育数学课程标准修订后，强调在注重数学“基础知识”和“基本技能”的同时，发展数学“基本思想”，积累“基本活动经验”。“这是数学教育目标现代演变的一个主要标志”（张天孝）。如何界定新增两个“基本”之一的“基本活动经验”？有专家认为，“意指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，从感性向理性飞跃所积淀下来的认识”；也有专家认为，“数学活动经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作所获得的经验，以区别于广义的数学思维所获得的经验”；还有人认为，“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识”。诸多的说法虽有差异，但其目标方向是一致的，那就是，在数学教育教学中要高度重视数学活动以及学生在活动中所积累的活动经验。 其实，经验之于教育、之于学习、之于学生成长的重要性是显然的。杜威在其《民主主义与教育》中说，教育是一种生长，生长的具体过程和内在机制可以概括地表述为“经验的改组或改造”，这个过程不是一个通过灌输实现的被动过程，而是在个人积极主动地参与共同生活的过程中能动地实现的。金生鈜教授在《理解与教育》中谈及，“课程就是学生经验增长，意义建构和精神发展的基础。课程在进行的过程中，为学生展开了一个丰富的生活世界，学生在其中自由想象、创造、学习、理解、交流、游戏、活动等等。伴随着课程的运行，学生的经验不断得到增长，学生的精神不断地扩展和升华。”哲学博士殷鼎在《理解的命运》中更是将之提升到生命成长的高度：“经验对人生有一种持久的意义，它不仅通过记忆和体验保存下来人生的价值和意义，也随着记忆进入人对生活的理解，随时影响各人对人生的认识。”然而，由于经验具有内隐性、个体性，并处在流动之中、变化之中和更新之中，我们似乎总是很难将其“看得清清楚楚，说得明明白白”，尤其是数学活动中的经验，带有很大的情境性、实践性，这也就让她始终像那“羞答答的玫瑰”，暗香袭来时才吸引人关注她的绽放。 应该说，数学学科本身就是以经验为基础不断发展与完善的，因此，学生的数学学习也应该从现实经验中抽象出数学概念和结构，这一过程既是基于学生已有的经验又是对数学活动经验的不断改组与完善。有效的数学学习必定是在新问题情境下运用已有的知识经验来成功处理新信息、新问题的活动，并以学生领悟经验、反思经验、改造经验、丰富经验为目的。学生数学活动经验对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、学生数学观念的形成、创新能力的培养以及人的全面发展等均有着十分重要的作用。从这一角度来看，在教学中着力帮助学生积累数学基本活动经验，不仅对儿童数学学习具有方法论的指导意义，也具有超学科的引领价值。 毋庸置疑，基本活动经验这朵“羞答答的玫瑰”在数学课程改革迈入“后课标时代”之际，不应再是“静悄悄地开”，而要开得鲜明，开得热烈，开得奔放，犹如山丹丹花开红艳艳。这样的“红艳艳”将迎来数学课程改革“再出发”的又一个明媚春天。 （作者单位：江苏省海安县实验小学）
002 数学教学中如何体现积累活动经验目标 ▇ 马云鹏 在数学教学中使学生逐步积累活动经验成为数学教育工作者越来越关心的问题。2001年开始实施的数学课程标准实验稿，在课程目标中已经提到数学活动经验的问题，即将公布的数学课程标准修订稿更把基本活动经验与数学的基础知识、基本技能、基本思想并称为“四基”，作为义务教育阶段数学课程的重要目标。可见，基本活动经验在数学课程与教学中的重要性。而对于第一线教师来说基本活动经验又显得陌生，教学中如何体现学生活动经验更觉得无从下手。对于数学活动经验的培养问题特别需要理论工作者和第一线教师共同探讨和研究。非常高兴地看到有许多第一线教师已经在实践中对这个问题进行了探索，积累了相关的教学经验，为我们提供进一步研究和思考问题的空间和话题。对于如何在教学中体现数学活动经验问题我没有深入地研究，只能谈谈个人的看法。 先看一个例子： 下表是某市一周之内最高气温，请将表中的信息绘制折线统计图。
| 6 月21日 | 6 月22日 | 6 月23日 | 6 月24日 | 6 月25日 | 最高气温(℃) | 26 | 27 | 27 | 26 | 28 |
这是小学数学中常见的问题，要求学生运用统计图的知识与方法表示数据。 如果把这个问题改编一下，变成“记录一周之内每一天的气温，再提出相关的问题，并在班上讨论”。这两个问题的区别一目了然，对学生的要求有很大的不同。下面试从积累活动经验的角度做一些分析。 首先，活动经验积累要有活动，要注重过程。这里所说的活动，不是一般意义上的教学和解题活动，而是需要学生参与其中的数学探索活动，是在具体的问题情境中“做”数学的活动。一般来说，这种活动不是解决现成的数学问题，不是简单的对一个问题寻找答案的过程。前面的例子中第一个问题只是在解决一个问题，学生是在运用有关的知识和技能，可以达到知识技能的理解和巩固的作用。而改编后的问题，需要学生亲自搜集真实的数据，再把数据按恰当的方式记录和整理出来，从中找出有价值的信息，提出有意义的问题。这需要一个过程，在这个过程中，学生要用到数学的知识技能，更要根据各种实际情况做一些具体的事情，在这个做的过程中学生有了体验和经历。不同的学生可能用不同的方式方法，呈现出不同的样态，他们的经历也有所不同。
第二，活动经验要在不断做的过程中积累。“积累”在这里是关键，不能指望有一两次这样的活动学生就有数学活动经验，要在教学过程中不断地为学生提供这样的机会。如果学生在学习不同内容的时候，都有机会做这样的活动，就会不断地积累相关的经验。这样的活动可以是在课内，也可以是课内与课外相结合；可以是独立完成，也可以合作解决。在数学课程的四个领域里都有机会为学生提供这样的活动。“综合与实践”领域更是学生积累活动经验的很好的载体。
第三，活动经验所达到的是过程性目标，不能用常规的方式评价。一般来说，常规的纸笔测验更适合于考查知识与技能的掌握情况，对活动经验的考察不能简单地用解决常规问题的方式进行。上面的第一个问题是在测试中运用的，而第二个改编后的问题，就需要采用活动记录，课堂交流，小型调查报告等方式。重点在于考查学生的参与状况与学习过程，同时还要综合考虑不同学段学生的能力水平。
以上只是对活动经验问题的一点思考，难免挂一漏万。希望能引起老师们的讨论，并提供更加鲜活的教学案例，使这个问题有更深入的研究。
（作者单位：东北师范大学教育科学学院）
003 对“基本活动经验”内涵与形成的思考
▇ 刘加霞 积累“基本活动经验”是修订后的数学课程标准中提出的一个新学习目标。为什么提出该目标？什么是数学的“基本活动经验”？在日常教学与学生的日常生活中如何让学生积累基本活动经验？这些问题都亟待思考与解决，结合具体的教学案例分析数学基本活动经验的内涵、性质以及探讨如何积累数学活动经验，是研究“基本活动经验”的重要途径。
一、积累“案例”，丰富对“基本活动经验”的感性认识
积累并分析日常生活和教学中的案例，是了解数学基本活动经验的重要途径，只有在丰富的案例中才能看到数学基本活动经验的“血肉”。
先看日常生活中的一个例子：“应该是52秒09，不应该是51秒 69”
笔者的女儿在小学三年级时参加北京市“育英杯”游泳比赛（ 50米蛙泳），参加这次比赛她应该取得好成绩（平时训练时成绩就很好）。但由于入水后她想看看自己是否犯规，就停顿、然后向后张望了几下。正是由于这“几下张望”，她只获得了第七名，成绩是51秒69。对此，她“耿耿于怀”，比赛一结束就说“妈妈，发奖肯定是发前十名的”。但我只能遗憾地告诉她“体育比赛获奖名次只取前六名”，她很难过。隔了一天，她又说起了游泳比赛，对我说：“妈妈，他们肯定是弄错了，我的成绩应该是52秒09，不应该是51秒69啊？”
一听到这个问题，我高兴地说：“宝贝，你提出的这个问题比你得第一名还让我高兴。是啊，怎么不是52秒09呢？我们问一问、查一查吧！”
接下来我们打电话问游泳教练这个问题，教练说：“秒和毫秒之间肯定不是60进制，毫秒表只取到99，但不应该是99进制吧，可能是1秒=100毫秒吧”游泳教练没有给出明确答案。
后来我俩又一起上网查找，原来1秒=1000毫秒，“秒”后面相邻两个时间单位之间的进率都是1000，甚至有这么小的时间单位：1秒=1000000000000000 飞秒，我感到非常震惊，当然女儿的体验不像我这么强烈。
从数学活动经验积累的角度看，我和女儿的上述经历是否为我们积累了一定的经验？在积累数学活动经验时经历了哪些活动过程或思考过程甚至情感体验过程？我们两人的体验程度一样吗？
再看教学中的案例：到底搬了多少块砖？
北京小学高丽杰老师曾经执教过一节“巧用乘法”的拓展训练课，在教学中高老师设计了如下几个活动：
（图略）
设计这些活动的价值是什么？在解决这些问题时学生积累了哪些数学活动经验？学生解决这些问题时并没有亲身参与动手操作，也能积累数学活动经验吗？
到底什么是数学活动经验？数学基础知识、基本技能以及基本思想还具有一定的“客观性”，而数学活动经验的“主观性”更强，涉及个人的感受、感悟，具有典型的“个体性”“内隐性”特征。因此真正说清楚什么是“数学活动经验”有一定难度，但数学活动经验对个体的数学学习又起着至关重要的作用，我们又必须说一说，必须结合教学实践谈一谈。
二、追问概念的内涵，提升对数学“基本活动经验”的理性认识
（一）数学“基本活动经验”是什么
显然理解数学“基本活动经验”的内涵与性质要了解两个核心概念：什么是“经验”？什么是“数学活动”？
经验属于哲学范畴的概念，从柏拉图、亚里斯多德时代一直到18世纪末19世纪初欧洲哲学的启蒙时代，哲学家们一直都在研究“经验”。前者将“经验”与“理性”相对立，认为经验纯粹出自实践与行动，而理性则与此无关。后者则将理性知识建立在感觉经验基础之上，使经验具有了理智的含义与认知的含义。
近代强调经验在教育中的巨大作用的首推人物是美国著名哲学家教育学家约翰·杜威，他对教育与经验的看法影响我们对经验的认识。杜威认为：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”他认为经验有两重含义，一是经验的事物，另一是经验的过程，强调经验是人与环境主动的交互作用的过程，这一过程融合了情感、意志、思维、实验等理性和非理性因素。因此经验一是由实践得来的知识或技能，二是经历、体验，是一种缄默知识。
其实从“经验”的英文单词“experience”可以看出，谈“经验”一定要强调“过程”，因为“experience”本身还有“经历”的意思，离开“过程”也就不存在“经验”。在实际教学中，上述两重内涵密不可分，不存在独立于知识、技能的数学活动经验，经验的积累就是在获得这些基本知识技能培养数学能力的过程中积淀下来的体验和感受。而这两重意义的获得具体落实在“数学活动”中，那么，有哪些数学活动？
数学活动的内涵非常丰富，从操作与数学认知的层面看，数学活动主要包含如下几方面:数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动，以及关于数学的交流活动。张奠宙先生则认为基本的数学活动还应该包括“模式直观”“解题经历”“数学想象力”“数学美学欣赏”等。
因此，数学活动经验就是学生在经历上述数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。与数学概念、技能等显性知识相比较，数学活动经验是一种缄默知识。它包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为中的数学思考、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方法、方式等。
由上述分析可以看出，提出数学活动经验为目标的根本意图还是强调教育的“过程性目标”而不仅仅是“结果性目标”。因为“思想感悟与经验积累决定人的思维方法”，而思想感悟与经验积累是“悟出来的，想出来的，而不是教会的”。
（二）数学“基本活动经验” 是怎样形成的
美国学者科尔比认为：经验获得至少要经过：具体经验、反思性观察、抽象概括、主动实践这四个阶段，并在这四个阶段的循环过程完成。
20 世纪上半叶，戴尔提出了“经验之塔”理论，并在20世纪60年代末进一步完善了该理论。他认为经验就是学习的途径，一切学习应“从经验中学习”，最好是从直接参与的动作性经验学习开始，以获得直接经验，当直接经验无法获得时，应该寻求观察的经验作为“替代性经验”以弥补、替代直接经验的不足。
布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。教学提供的数学活动应该尽可能遵从学生“已有经验——到直接经验——再过渡到经验的符号性表象”经验的获得过程。
概括上述几位研究者的观点可以看出，经验的获得需要“领悟”与“转化”:通过参与具体活动（也可以是替代性的视觉观察）直接领悟获得具体经验；然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验；最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用，重新领悟和创造新的经验。经验的积累就是在这样不断循环往复的连续过程中实现经验的创造、领悟与转化。
在小学数学教学中，学生获得经验的最重要途径是参与具体的活动，在具体活动中获得直接经验。但由于教学时间的限制，不可能事事都让学生“亲力亲为”，教师提供的直观可视化的材料，学生对此进行观察、思考也可以获得替代性经验。在实际教学中为学生获得“替代性经验”而设计有意义有价值的数学活动是教师义不容辞的责任，“替代性经验”与“直接性经验”同样重要！这是戴尔的“经验之塔”带给我们的最大收获。
三、深度分析“案例”，提升对数学“基本活动经验”的理解力
对概念的“理解力”是指既知道这个概念的内涵和外延并能运用这个概念解决实际问题。对数学基本活动经验的理解决不能停留在“理性的”定义上，更重要的是在教学实践中如何落实。理性分析重要，即有了对什么是数学活动经验的追问以及如何积累数学活动经验的分析，更需要结合具体的教学案例进行深度分析，由此我们对数学“基本活动经验”的感受就不是那么抽象和难以把握。
广大读者可以对本文提出的两个案例做进一步的分析，我在此不做赘述，只提出两点思考：深度分析案例离不开对学科内容本质与结构的分析、离不开对学生学习数学的思维路径以及困难的分析。
（作者单位：北京教育学院） 004 关于获得数学活动经验的三点认识 ▇ 贲友林 数学活动经验是人们在数学活动过程中形成的并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。数学教学应致力于学生数学活动经验的获得。本文就学生获得数学活动经验谈三点思考。
一、经验在经历中获得
《现代汉语词典》对“经验”是这样解释的：“经验”有两种词性，作为名词，指由实践得来的知识或技能；作为动词，指经历，体验。杜威指出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”这里的经验，包括了经验事物和经验的过程两重意义。由此来看，经验以静态与动态两种状态存在着。
《数学课程标准》（实验稿）就曾指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”活动经验，离不开活动，学生的数学活动经验是在参与数学活动过程的基础上获得的。没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验。数学活动经验是数学活动的过程和结果。也就是说，有经历，不一定有经验，没有经历，一定没有经验。
如，分子相同的分数进行大小比较，分母大的分数反而小。在教学中，学生不是要将这样的结论熟记于胸，而是需要建立在自己经验基础上的理解。学生可能选择画图思考并说明比较大小的活动，而这样的活动选择也是源于以往画图解决问题的经验。如果以往没有经历用图、数轴等表示分数大小的活动，那这里也就缺乏了画图的经验。
再说对具体内容的理解经验的积累过程。在尚未入学的时候，不少孩子就有分东西的经历，他们在分东西的过程中，积累“分”的经验，知道分的份数越多，每一份就越少。当然，这样的经验是一种日常生活经验，还不是数学经验。数学教学，需要把这样的生活经验进行数学改造。在学习除法时，学生一定会经历类似如下的操作活动：12根小棒，平均分成2份、3份、4份、6份；在这样的操作过程中，学生对“分”的经验再积累，对分的结果也积累了经验。在认识分数时，学生有画图表示分数的经验，待到解决上述问题时，学生也就有了可供提升的经验积淀了。综上所述，学生的活动经验也正是在一次又一次经历的活动中积淀、丰富。
常常听到长辈对晚辈的告诫：我吃的盐比你吃的米多，走的桥比你走的路长。我们是否可以从经历的角度理解，因为长辈的经历比晚辈多，所以经验也就比晚辈丰富。“吃一堑，长一智”，这里的“智”包含了经验，因为有了“吃一堑”的经历，也就增长了一份“智”的经验。
二、经历了≠获得了
学生经历或参与了数学活动，并不是就能获得充足的数学活动经验。也就是说，经历了数学活动，未必就获得了数学活动经验。
就不同的个体而言，学生经历数学活动过程，获得数学活动经验是有差异的。学生的数学活动经验是建立在学生参与数学活动的过程和个体的感觉基础之上的，而学生个体之间感悟数学的水平差异较大，因而，学生之间的数学活动经验有较大的差异。就某一数学活动而言，同一个班级的学生都参与其中，有的学生获得的数学活动经验比较清晰，有的则比较模糊；有的学生获得的数学活动经验比较丰富，有的学生则比较单薄。存在着这样的现象，教师因教学进度、教学容量的考虑，当部分动手能力较强、思维较为敏捷的学生比较快地完成了活动内容时，教师也就组织全班学生从该活动“转场”到另一个活动。显然，相当一部分学生只经历了前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。所以，在活动过程中，教师要关注每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程。这里还要指出的是，数学活动经验虽然是个性化的，但从学生群体的角度来看，数学活动经验是很多学生在经历了同一个数学活动之后形成的，具有一定的共性和普适性。
就经历的过程而言，活动经验的发展具有一定的层级性、规律性。第一次数学活动中获得的是原初经验；第二次遇到相同情境时，经验再现，一般称为再生经验；再次遇到类似情境时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”重复运用这种经验时，这种经验成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后，内化为经验图式。学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历这样几个阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段。由此来看，经验有时需要在多次类似的数学活动的反复经历中获得。经历了，不等于获得了，这里所说的获得的是指较高层次的概括性的经验图式。
如，学习平行四边形面积计算时，学生通过操作将平行四边形剪、移、拼成长方形，这一过程使学生获得剪、移、拼的经验，感受将陌生的问题转化为熟悉的、将未知的问题转化成已知的过程。不过，这样的经验是非常粗糙的，难以适应新情境中的数学对象，也就是说，在新的数学问题中不能被调用。学习三角形面积计算，学生往往不能凭借自己的经验将求三角形的面积问题化归成已学图形面积的问题，因而教师组织学生通过旋转、平移或剪、拼的操作活动将三角形转化成平行四边形，在此基础上，对活动过程进行反思、总结和交流，概括所获得的经验。学习梯形面积计算，学生经历的情境与三角形面积计算的情境几乎相同，因而学生会把先前在三角形学习的数学活动中获得的经验运用于当下活动中，在“还原”前一活动经验的过程中，学生关于图形转化的方向与方式的经验得到了巩固。在学习圆的面积时，学生的数学活动经验外显，他们有明确的将圆转化成已学图形的倾向。不过，在实际教学中可以发现，很多学生的操作都是将圆沿着4条弦剪去4个弓形，再把4个弓形和剪出的长方形相拼。这恰恰说明了学生的经验还比较单薄，其原因也正是数学活动不够多样化。从数学活动经验的角度看，学生数学活动的过程就是数学活动经验不断上升、不断转化的过程。事实上，学生经历了数学本质一样的、多样化的数学活动，在交流、讨论与反思等活动的作用下，他们的原初经验得以改造和提炼，完成数学活动经验从低层次到高层次的生长。
三、经验，并非总是亲历所得
对数学活动经验的获得，有的老师在认识上存在着一个误区，认为活动经验一定是学生亲历所得。亲历，是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式。正如史宁中教授所说：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。”这和戴尔“经验之塔”理论是相吻合的。
以笔者20年前在一所农村小学的一段教学经历为例。当时使用的五年级数学教科书中有这样一道题目：有一台播种机，作业宽度 1.8 米。用拖拉机牵引，按每小时6千米计算,每小时可以播种多少平方千米？20年前的农村小学生，没有见过播种机，他们不理解题目中的“作业宽度”，他们觉得“作业”就是指他们平时做的语文作文、数学作业，怎么“作业”还有宽度？这又说明了学生在日常生活中获得的经验也许还是欠准确与精致的，经验是一把“双刃剑”，对学生的学习既有积极的正面作用，也有消极的负面作用。如果今天的数学教学中遇到这个问题，我们可以组织学生去实际观察播种机播种的场景，可以播放一段视频或制作多媒体课件进行演示，从而使问题得以解决。而我，基于当时农村小学的条件，给学生做了这样一个演示：先在黑板上用粉笔涂上一大片，然后手拿黑板揩:“这好比是播种机。黑板上涂的这一大片就是待播种的地。”随即将黑板揩按在黑板上：“开始播种!”黑板揩慢慢地前进，黑板上渐渐地出现了长方形空白。手指空白:“黑板揩的长相当于空白部分的宽度，也就是播种机的‘作业宽度’。”教师在学生的笑声中完成了演示，学生在笑声中理解了“作业宽度”。
由此可见，在教学中，教师要充分整合动手操作、板书演示等各种教学手段，适时运用现代教育技术，给学生提供和创造像“观察性经验”一类的替代性经验，让学生在观察、模仿、想象这些替代性经验中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验，促进学生获得广泛的丰富的数学活动经验。
（作者单位：南京师范大学附属小学）
005 基本活动经验实践研究的辩证解读 ▇ 储冬生 积累基本活动经验，形成比较完整的数学认识过程，构建比较全面的数学现实，对于帮助学生获得良好的数学教育，提升数学素养，具有重要的意义。随着新课标的修订，基本活动经验在课程目标中被进一步明确，地位得到进一步凸显，将其作为数学课堂教学的核心目标予以落实已经成为大家的共识。
如何使得基本活动经验的积累从理念走向行动？我以为，眼界决定境界，思路决定出路！用辩证的眼光来看待这一新话题并平衡和处理好各种关系是我们推进教学改革时应有的思维。本文结合具体案例略谈几点想法，求教于各位同仁。
继承与发展
案例：面积和面积单位
师：凭你的“感觉”，你觉得 1平方米大概有多大？
……学生自由地发表自己的观点。
师：到底有多大呢？为了研究问题的方便，人们规定了一个 1平方米的模型。（师出示教具： 1平方米的模型）谁能用数学语言来描述一下这个模型？
生：边长为 1米的正方形，面积就是 1平方米。
师生合作测量边长，验证学生的描述。
师：你能从生活中找到 1平方米的影子吗？
学生举例：餐桌的上面、讲台的前面、水磨石地面的一个方格……约 1平方米。
师：下面我们一起来做个游戏，看看 1平方米的地面上大约能站多少个小朋友。
学生争先恐后地参与， 1平方米的地面大约能站15名三年级的小朋友。
师：大家估计一下黑板的面积大约有几平方米？
生： 3平方米左右。
师：他估计的结果对不对呢？
师生合作，用 1平方米的教具量一量，加以验证。
【思考】数学教育目标从“双基”走向“四基”并不能看作是“2+2”的简单叠加，帮助学生积累基本活动经验在我们过去的教学实践中就有很多好的传统，这次数学课程标准修订将其作为核心概念单独提出，意在进一步强化。上例教学面积单位时，先让学生根据自己的生活经验去“猜测”，然后提供模型让学生去估计，去测量验证，到生活中去找它的“影子”，再在游戏中强化，从而逐步加深认识，建立起“1平方米”的正确表象。猜测、估计、测量、游戏这一系列的活动其实就是一个典型的积累基本活动经验的过程，学生在多感官的参与中直觉地建立起“1平方米”的概念。以往的教学中我们一直都是这样做的，只是过去我们并未特意从积累基本活动经验这一视角来考量它、优化它，发掘它特有的价值和意义。因而，在继承中发展是我们开展基本活动经验研究的基本战略。
活动与思维
案例：游戏规则的公平性
师：大家认为刚才的游戏还是不公平，现在该怎样改变包中的球，才能使游戏变得公平呢？
生：黄球和白球的个数一样多，游戏就公平了。
师：个数一样多，可能性相等，游戏规则就公平了。
教师将包中的黄球和白球调整为同样多。
师：现在黄球和白球的个数一样多了，摸球的结果又可能会是怎样的呢？
生1：两种球摸到的次数应该相等。
生2：两种球摸到的次数应该差不多。
……
师：在规则公平的情况下摸球的结果到底会怎样呢？实践出真知，大家再分小组自己动手试一试。
学生进行摸球游戏，教师巡视，学生汇报。
师：观察各小组的活动记录大家又有什么发现呢？
生：各组的情况也不一样，有的摸到的黄球多一些，有的摸到的白球多一些，也有相等的。
师：为什么会这样呢？
生：公平只是可能性相同，机会均等，摸球的结果并不一定每次都一样多，这还得看“运气”。
师：看来游戏规则公平，只表示双方赢的机会是均等的，即使在规则公平的情况下，游戏的结果仍然是“一切皆有可能”！假如我们把各组的结果都汇总起来又会有什么发现呢？课后有兴趣的同学可以自己去探索。
【思考】数学活动经验有别于日常生活经验，是具有数学目标的学习活动的结果。比如同样是折纸，可能是美学欣赏，可能是技能训练，也可能是数学操作。而作为数学活动的折纸，其目的是学习数学，比如轴对称的概念，图形的运动，图形的不变特征等等。同样，一般的摸球游戏本身并不具备多少数学意义，只有思维的深度介入，才使其具有数学意义。以此观照上述案例，摸球游戏前的预测显得尤为必要，不少学生认为：球的个数相等，游戏规则公平，游戏的结果摸到两种球的个数也应该是相等的。这是学生认识上的一个难点，揭示学生的这种错误认识，正是为了矫正他们的错误，把力气用到紧要处。活动之后对于数据的分析既关注各组数据内部的比较，又提示学生可以从各组数据汇总的角度去分析，这是一种分析方法上的引领和审视视角上的指导，这些对于提升思维含量，使得感性经验上升为理性认识显得尤为重要。倘若没有了前面的预测和后面的分析也许就只剩下“活动”了，没有思维介入的“操作工式”的活动，只能带来缺失了数学意义的“基本活动经验”。
直观与抽象
案例：平均数
师：一下子说出这几幅图中哪根虚线表示这五位女生玩套圈游戏套中个数的平均水平，的确不容易，我们降低些难度，谁能先说说，哪一幅图肯定是不正确的。
生：图1和图2都是错误的。
师：为什么呢？
生：平均数一定在最大值和最小值之间，不可能大于最大值也不可能小于最小值。
生：图4也是不对，因为根据“移多补少”的规则，比平均数多出部分之和应该等于比平均数少的部分的和。
生：第3幅图是正确的。
师：如果要使得平均数值达到现在的图4虚线所在的位置，我们可以怎么办呢？
生：没有达到的4个人，每个人都增加一些就行了。
师：平均数很敏感，每个数据的变化都会带来平均数的变化。
生：其实也可以只在其中的一个人上面增加，不过要增加得多一些而已。
师：虽然其它数据都比平均数据低一些，但是由于有一个极大数据就可能将整体的平均水平拉上去了。平均数容易受到个别极限数据的影响，这也是我们在使用平均数分析问题时需要注意的。
【思考】积累活动经验总得依赖一些活动，但是所谓活动并不一定都是指直观的操作活动，行为操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验也是基本活动经验的重要组成部分。这道平均数的巩固练习采用了选择题的构题方式，题面虽简单，但综合性很强，思维含金量足。教学目标十分集中地指向于运用平均数的图示虚线出现的不同位置，引导学生思考平均数的本质属性，从而加深学生对平均数的大小范围、判断依据的直觉把握。不但有所排除，有所确认，还进一步引导学生思考被否认的图4，假设它的平均数合适，应当怎么去调整各个统计量。通过统计图的形象展示，诱导学生对一组统计数据中个别极端值对平均数的影响真切地体会并表达出来。这里没有关于“移多补少”的直观的简单的行为操作，而是借助半抽象的统计图让学生在头脑中去思考，这种抽象思维活动的经验积累也属于基本活动经验的范畴，而且是更高层次的理性的数学活动经验。
生活与数学
案例：解决问题的策略——转化
师：课前我们又重温了《曹冲称象》的故事，让我们一起思考这样几个问题。第一，曹冲将称“大象”转化成了称“什么”？
生：曹冲将大象转化成了石头。
师：第二，为什么要转化成石头呢？
生：因为大象是一个整体不好分，而石头可以分开来称。
师：第三，故事中有一个重要的细节——在船舷上做了个记号，这是为什么？
生：大象在船上的时候，水面到了那里，后来石块放在船上的时候水面也到了那里，这样石块的重量就和大象的重量差不多一样重。
师：第四，一定得将大象转化成石头吗？
生1：不一定非得转化成石头，换成木头、铁块也都行啊……
生2：我倒觉得转化成人才方便，我们可以要求观看的士兵走到船上去，这样还方便些，省得搬东西。
师：这种转化的策略对于我们的数学学习又有什么启发呢……
【思考】很多日常的生活经验都能为学生积累基本的数学活动经验提供基础。有些老师也关注到了学生的生活经验对于儿童数学学习的价值，但是在实现由生活经验向数学活动经验的提升方面仍然做得不够。用“曹冲称象”的故事引入转化的策略不少老师都用过，但是仅仅指出“曹冲称象”的故事中用到了转化的策略显然还是不够的，这只是关注到了生活经验而已。上面的案例中，老师追问的四个问题，直指转化策略的实质，其实就是在着力引导孩子实现由生活经验向基本活动经验的提升。数学基本活动经验是人们的“数学现实”最贴近生活现实的部分，数学现实就像一座金字塔，从与生活现实密切相关的底层开始，一步步抽象，直至上层的数学现实。学生学习数学，要把握从生活现实上升为数学现实的完整认识过程，即从感性认识上升为理性认识的全过程，这是抽象数学活动的前提和基础。
总的说来，儿童的数学学习是一个系统，在这个系统中，各元素间存在着多种关系、多重联系。我们应该用一种扬弃的眼光来聚焦基本活动经验，植根传统又突破定势，在对教学实践的辩证解读中，开阔视野，拓宽思路，寻求超越。
（作者单位：江苏省海安县实验小学） 006 让“活动”带给“经验”生长的力量 ▇ 仲海峰
如果说，数学“基本活动经验”是学生在从事有明确的数学目标的活动过程中产生和形成的经验，那么很显然的是，使学生获得基本活动经验的前提和核心是要提供好的活动。苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为数学教学就是数学活动的教学，也是数学思维的教学。这是一种将整个数学教学都看成是“数学活动”的“大活动”观、“泛活动”观。从现有的研究来看，数学课程标准修订时所提出的“基本活动经验”中的“活动”，其范围和内涵都有所窄化，借用张天孝先生《关注数学基本活动经验》一文的观点，“主要是对数学材料的具体操作和形象探究活动”。这句话中，“数学材料具体操作活动”并不难理解，而“形象探究活动”，我以为，既包含实物、图形等具体形象，也包含着思维中、想象中的事物，即脑袋瓜中籍以进行思维、想象等活动之“隐形”形象。
有了这样的认识，我们有必要进一步深究：什么样的活动才是好的数学活动？好的数学活动能产生怎样的活动经验呢？如何让我们的数学活动向“好的”方向发展？对这些问题的回答既需要时间，更需要实践。对一些典型案例进行分析，或许能为我们提供思考的路径。
让活动经验触及概念的本质
有这样一则案例，从课改初一直讲到现在。案例记录的是某学生与父亲回忆学校学习的一段对话。
爸爸：儿子，你今天学习了什么？
儿子：学了集合。
爸爸：你听懂了吗？
儿子：懂了！太简单了！
爸爸：老师是怎么讲的。
儿子：老师先让男小朋友站起来，然后告诉我们这些男小朋友就组成了一个集合。接着让所有女小朋友站起来，告诉我们所有的女小朋友也组成了一个集合。最后老师让全班小朋友都站起来，告诉大家全班小朋友也组成了一个集合。
爸爸分别指了指家里的桌子、椅子和一筐土豆问：它们能组成集合吗？
明明：家里所有的桌子组成的是一个集合，所有的椅子组成的也是一个集合，一筐土豆组成的不是一个集合。
爸爸很惊讶问：为什么？
明明：因为桌子椅子是站着的，但土豆不可以站起来。
故事是虚构的，但似乎又“合乎情理”地反映了我们平时教学中某些教学现象。活动在活跃课堂气氛，带给了学生乐趣的同时，也夹杂着一些多余的、甚至有干扰的信息——孩子在一次次的、并非体现集合本质“起立”活动中，产生了“能不能站起来是区分一些元素组成的是不是集合的依据”这个活动经验。强烈的负效经验干扰了学生对集合本质的理解。
经典的例子还有三角形稳定性教学，老师让学生分别拉三角形和平行四边形木架，体验三角形的稳定性和四边形的易变性。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴、印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上——“拉”不动，就具有稳定性”，“拉”得动，就“不”具稳定性。其实三角形稳定性是指“三角形三条边长度确定，其大小、形状也就确定”。其对应的活动应该是让学生用三根小棒围不同的三角形，从而让学生体验三根小棒围成的三角形，“除了姿势不同外，形状和大小都完全一样”。这样让活动经验明确地指向于“边长确定，大小、形状也就确定”这个本质，有效地避免了理解上的歧义。概念是数学的灵魂，也是学生数学学习的根基。围绕概念本质内涵的活动所产生的活动经验才会带着浓浓的数学味，蕴含着无限的扩展力。
让活动经验触动思维的内核
新课程改革前，我们的课堂教学大都着力于对教材提供方法的模仿与训练，新课程改革要求不仅重视“方法的多样化”，而且重视对多种方法的分析、比较、优化。这种变化的实质是强化对数学思维的培养，提升学生的数学思考自觉。顺应此，数学活动也应该成为数学思维的活动，让活动经验要触动思维的内核。
以六年级“假设策略”一课为例，常见的教学流程：
出示例题：五（1）班的42位同学去划船，他们一共租用了10条船，每只大船能坐5人，每只小船能坐3人，正好每条船都坐满。他们分别租用了几条大船和几条小船？
接着，组织学生先独立思考，再小组讨论、大组交流。
最后，分析比较出最优方法，重点学习：假设全班同学都坐小船，坐船的就有10×3=30人，比实际多出42-30=12人。事实上，每只小船换成大船就会多出2人，共有12÷2=6条小船换成大船，10-6=4条小船。
笔者曾对这节课做过一项调查：超过一半的同学认为，在学过假设法后，如果长时间不接触这类题目，很容易遗忘。究其原因，学生上述学习过程其实只是停留在模仿、训练、机械记忆层面，并未能深入到思维的里层。针对此，我的做法是：
在学生独立思考、小组讨论、大组交流时增加一个让学生在操作中“凑”答案的体验活动（以★为大船，▲为小船）。
学生独立活动后，各学习小组汇报，将所有情况有序展示在黑板上（图略）：
大船只数 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
小船只数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人 数 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30
接着组织学生带着活动经验比较操作题与例题的联系——两题都要假设大船和小船的只数，求出人数。不同的是，操作题根据假设的人数就可以求出可能的人数，而例题实际人数已经告诉了我们，而且往往与假设的人数不一致，这说明假设的大、小船的只数有问题。这时需要调整：如果求出的人数比实际人数少了，说明要用小船换大船，每换一次相差2人；如果求出的人数比实际人数多了，说明要用大船换小船——这样调整若干次直至人数吻合。
应该说，动手操作“凑”答案，活动虽然有些土气、原始，但充分展开的“凑答案”过程却意蕴十足——从0开始，一组数、一组数有序地“凑”，答案逐渐浮出水面。这种由“无”生“有”、由“虚”渐“实”的“凑”的活动经验，既蕴含着“假设法”中假设的必要性，也揭示了“假设法”中“调整”这个环节的“关门过节”——“1只大船”和“1只小船”替换就会相差2人。由此，我们可以说“假设法”是学生积足了“凑答案”的活动经验之后的“由熟生巧”，而近乎接近学生本能的“凑答案”所产生的体验和形成的思维经验，具有“根基”的作用，即便学生一段时间忘了后，解决问题的路径仍能由根“再生”出来。
让活动经验触摸创造的萌芽
新课程标准在修订时再次突出“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向，东北师大史宁中校长在论及创新能力时指出：“创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要”。尽管我们很难直接传递创造的经验，但是，数学活动应该为学生提供更多创造的机会，让他们触摸创造的萌芽，积淀更多的具有创造潜质和基质的活动经验。
以“自然数两种分类之间的关系”为例：
自然数按是不是2的倍数，可以分为奇数和偶数；而根据因数的个数，又可以分为0、1、质数、合数。同一数集的两种不同角度的分类，使得奇数、偶数、质数、合数等数之间的关系错综复杂。学生在遇到诸如“所有的奇数都是质数”“所有的质数都是奇数”“所有的合数都是偶数”“所有的偶数都是合数”之类的辨析题时，很是头疼。
对此，我们设计、组织了一次“数形结合——借助操作理解奇、偶数和质、因数之间的关系”的画图辨析关系活动。下图是学生陆杰“创造”的自然数两种分类之间的关系图：
（图略）
【图解】用长方形代表自然数，从中间画一条竖线将自然数分为奇数和偶数两部分。
在奇数中，“1”既不是质数也不是合数——用方框框出来；剩下的数中，一部分是质数，另一部分是合数。
在偶数中，“0”去掉既不是质数也不是合数——用方框框出来；剩下的数中，只有2是质数，其余都是合数。
换个角度看，质数部分，除了2是偶数，其余的都是奇数；再看合数部分既有奇数又有偶数。
应该说，学生创造性地设计直观形象集合图，将知识间千丝万缕的联系浓缩到一张结构图中，既有助于看出知识间的联系，加深知识的理解，也便于知识经验的灵活调用，有助于“活化”经验。当然，最重要的是这种创造性活动中所积累的经验，有如冬天里埋在雪地下的种子，春风吹来时就会生出创造的嫩芽，充满着无限的生机。
当然，数学活动不是“哪里需要贴哪里”的狗皮膏药，也不是“贴哪里，瘦哪里”的灵丹妙药。需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿能给学生留下很好的活动经验？这些都是我们帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。但无论如何，着力设计短小精悍、彰显数学本质、强化数学思考、追求实践创新的活动给学生留下“最具生长力”的活动经验，是值得我们每一位教师持续关注并积极付诸教学改革的。
（作者单位：海安县教育局教研室）
007 帮助学生积累怎样的基本活动经验 ——以“分数的认识”教学为例 ▇ 仲广群 著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾做过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。”可见，基本活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学直觉的源泉。那么对于学生的数学学习而言，什么才是可以用来做“根”的基本活动经验呢？本文试以“分数的教学”为例，阐述我们要帮助学生积累怎样的数学基本活动经验。
一、重观察，重操作，丰富学生的表象，积累体验性经验
有研究表明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”，除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起着非常重要的作用。事实上，学生掌握的数学概念大多是对自身经验经过辨别、分化、抽象、概括以后发展而来的。
学生认识分数远不像当初认识整数时那样来得顺利。这是因为，在学生的已有的活动经验中，来自有关“分数”方面的储备，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当“1”需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。
尽管如此，教学还是得从学生所熟悉的感性材料入手，因为概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，毫无疑问，辨别各种刺激模式，并在知觉水平上进行分析、筛选、辨认，根据事物的外部特征进行概括，是建立正确概念的第一步。既与分数的概念相通，又存在于学生的已有经验之中的，就是学生“均分”物体的经验了。
分蛋糕、分苹果，的确是生活中较好的关于“均分”的模型，因为学生都有过这样的经历。只是生活中人们并不习惯把一个蛋糕平均分成8块后，将其中的一块称为，而更多是称作“一小块”。但这并不妨碍学生对分数产生的感知，因为学生从分苹果、分蛋糕中，已经完成了初级阶段的抽象，即学生能够明白，以前经验中最小的“1”还是可以继续分下去的，这样分得的结果我们就得用新的数来表示了。这就把新的认知起点与旧有的经验联系起来了。相比之下，有的教材从“折纸”切入，学生便不能从操作中感受到“分”的必要性，由此引入分数多少显得牵强和生硬，这是对学生经验缺少深入细致的考察所导致的。
概念的抽象往往不是一次性完成的，分数概念的建立也不例外。我们可以从皮亚杰等人的研究成果中得到启发：“4-4岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；6-7岁的儿童能把小的正规图形分成三份；7-9岁的儿童能把小的正规图形通过试错分成六份。”皮亚杰等人的研究成果告诉我们，学生通过面积的模型来认识分数比较容易。依此，组织折纸、填图等操作性活动，可以引导学生向更高一层的抽象发展，亦即线段、长方形、圆……，以致一个整块的物体，都也可以像分苹果、分蛋糕那样均分下去，在这方面它们具有共同的属性，这就是所谓的“二阶抽象”。
较之于“连续量模型”，学生对于“离散量模型”的理解，似乎来得更为困难。因为对学生而言，这是更高一层次的“三阶抽象”。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中储备不多，加之整体“1”的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少关涉到以下几种不同的类型：⑴数量刚好为5个；⑵数量在5个以上并被分成了5等份；⑶数量比5多但不能被5整除；⑷数量比1多但比5少。
日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师“浓缩”了前人探索的结果，使得素材本身更具“数学味儿”，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。
“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。”很显然，学生建立分数的概念必须先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相似性、共通性，然后经由多个层次的“抽象”这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。
二、重探究，重思考，优化学生的策略，积累方法性经验
这里的“探究”指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用“操作地思考”和“思考地操作”来界定两者的区别。行为操作的价值取向是问题解决，而不是仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验，我们称之为“操作地思考”；思维操作指的是在思维过程中开展活动而获得的经验，即，思维操作经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。思考的经验不仅可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至产生于某些实验过程之中，我们称之为“思考地操作”。显然，前者侧重于直接经验的获得，而后者侧重于间接经验的获得。
学生对“均分”后产生分数有了初步的感知，就可以安排一些带有思维性质的操作性活动，如：通过引导学生进行折纸和画图等活动，想想和哪个大？用涂色的方法说明和哪个大？这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，但更侧重于的是操作本身，让学生从图像中直观地感悟分数的大小，获取的直接经验占据主要的成分。
显然，不同的呈现方式，对学生的思维的要求是有区别的，即便是分桃子，将一只桃子进行均分，与将一大一小两只桃子进行均分，对学生的思维挑战就不在一个层面上。
（图略）
如上图，学生当然可以通过“操作地思考”，寻求到解决问题的答案。但是，更适宜的方法却是进行“思考地操作”，亦即，这一操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过实验去验证一下就可以了，其思考的依据是，两个部分量的相加，应该等于整个量的。再如：小明看了一本书的，小红看了一本书的，他们俩谁看得页数多？一个图形的是□，原来的图形是怎样的？事实上，解决这两个问题，学生如果先行实验，或许会对寻求问题的正解产生误导。比如学生用一样大小的纸做实验模型，结果只能发现小明看的页数多。同样，学生处理第二个问题时，画成 ，也会影响其对离散图形的进一步思考。不难分析，对实验之前的先行思考，即“思考地操作”恰恰反映了学生对概念的本质的认知水平，因为这种先行的思考，带有很强的策略意味儿，是学生多次开展类似的开放性活动后形成的心理敏感机制，属于典型的个体知识。应该说，这种方法性活动经验对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到“数学思想”境界的必要桥梁。
三、重概括、重反思，增进学生的内隐能力，积累“数学地思考”的经验
概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。从前面的分析可以看出，学生掌握分数的概念，大致要经历几个不同的阶段：
首先，对已有生活经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来。
其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程。
最后，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。
因此，教师应该把学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的基本技巧，从而逐步学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，以逐步培养概括能力。学生概括能力的强弱，带有很强的个性特征，是学生的一种内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，特别是，引导学生通过适当的反思，可以帮助学生在原有的基础得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的缄默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些缄默的认识模式，从而不断地提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。
引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。
从概念本身的教学来看，我们固然希望学生的已有经验既要有我们想象的相似性、共通性，又不要有太多与概念无关的干扰。但是，学生的活动经验相当部分来自于日常的生活，而生活经验的提供途径和方式并不遵守学校教育的法则，所以学生所获取的经验成分中，带有相当程度的模糊性、片面性，甚至有不少的错误藏匿其中。学生由整数加法的经验迁移而产生“+=”的想法，便是较好的例证。教学的任务就在：对学生既有的经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让错误的变得正确起来。让零散的变得结构化起来，而这，就是基于了学生的基本活动经验，引领学生经历的“数学化”过程。这是基本活动经验培养的高级境界。
（作者单位：南京市石鼓路小学）
原文地址：解读课标十个核心概念作者：墨香悠悠
解读课标十个核心概念 在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 课程标准提出了‘数感’‘符号意识’等核心概念，为什么提出这些核心概念？ 首先，核心概念是课程目标的支点，起着沟通课程目标与具体数学内容之间联系的作用。我们知道，课程标准设计了‘知识技能’‘数学思考’‘问题解决’‘情感态度’四个方面的培养目标，同时选择编排了大量的数学知识。如数的知识、运算的知识、图形的知识、测量的知识、统计和概率的知识、解决问题的知识等。这些知识又各有许多具体的内容，如数的知识就有整数、小数、分数，其中的整数知识有数字符号、计数方法、数的顺序、数之间的大小关系、用数表示和交流等。再如测量的知识包括长度、面积、体积（容积）的意义，常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位，常用的测量工具和测量方法，基本图形的周长、面积、体积的计算公式等。如何把比较宏观的培养目标与众多十分具体的数学知识有组织地联系起来？核心概念就起这方面的作用。在中小学数学课程这个结构里，‘核心概念’介于课程目标与众多具体数学内容之间，是课程目标的落脚点。课程目标通过有关的核心概念得到比较清楚的描述，也通过相关核心概念的教学和形成得以实现。如，课程标准关于‘数学思考’方面的培养目标是如下表述的，这样的叙述指出了‘数学思考’的培养应该往什么方向去落实，也使‘数学思考’的培养目标具有可行性和可操作性。 ---建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。 ----体会统计方法的意义，发展数据分析意识，感受随机现象。 ----在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法。 ----学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 其次，核心概念起着统领众多具体数学内容，导向其教育价值的作用。课程标准提出的核心概念，有些和‘数与代数’领域的内容联系密切，有些和‘图形与几何’领域的内容联系密切，有些和‘统计与概率’领域的联系密切，有些和‘综合与实践’领域的内容联系密切。围绕每一个核心概念都有许多具体的数学内容，通过这些数学内容的教学才能在学生头脑里形成核心概念。使学生形成必要的核心概念是数学教学的重要任务，也是有效的数学教学的归宿。核心概念起着统领具体数学内容及其教学的作用，使众多数学知识之间不是隔裂的，每个数学知识不是孤立的，而是相互联系、相互作用、相互影响的。课程标准提出核心概念，一方面指出了某个核心概念需要哪些数学知识，另方面指出了这些数学知识的教学应该形成核心概念，成为学生的意识与能力。 如‘数感’主要和‘数与代数’领域里的‘数的认识’‘数的运算’以及‘数量关系’有着联系，课程标准指出：‘数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。’学生的数感是他们认数学习和计算学习中的智慧结晶，是他们经常接触并领悟常见数量关系的经验升化。数感的形成使数的知识、运算的知识、数量关系的知识转化成个体的数学素养。小学生的数感主要表现在：能够用数刻画客观对象的量的多少或大小，能够估计客观对象有多大、有多少；能够估计运算的结果大约是多少，能够评价笔算或计算器计算结果的合理性；能够用常见数量关系描述实际问题里的数学内容，能够体会到常见数量关系里的简单函数关系。数感就这样把与‘认数’和‘计算’有关的教学内容有机组织起来了，教学数及其运算的知识应该归结到培养和形成数感的上面。 再如，课程标准指出‘符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。’小学数学里有数字符号0～9，运算符号＋、－、×、÷，关系符号＞、＜、＝，字母符号h表示形体的高、s表示图形的面积（有时表示路程）、v表示立体的体积（有时表示速度）……，这些都是人们约定俗成、共同使用的符号。人们学习数学、应用数学时，还可以使用个体的符号。如用一横、一竖或者一个‘√’表示一个物体，用字母A、B、C分别表示某些对象等。符号具有简单明了、使用方便等优点，学习数学离不开它。小学数学初步培养学生的符号意识，让他们知道并使用人类已经共同使用的一些符号，用符号表示运算律、求积公式、常见数量关系；鼓励学生用自己设定的符号进行记录，开展统计活动，不仅方便交流与表达，还体会到符号的价值。‘符号意识’就这样把用字母表示数（数量关系或运算规律）、对含有字母式子的运算、方程以及解决实际问题等数学内容组织起来，有效解决众多知识相互割裂、过于分散的现象，并且给于它们明确的教学方向。 又如，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间形式是数学的研究对象，客观世界存在着各种各样、大大小小的物体，物体在运动变化，物体之间有着相互联系。这些内容反映在人的头脑里，形成的有关概念、模型，产生的想象、引发的形象思维，就是个体的空间观念。小学数学教学许多基本的形体知识，学生应该形成初步的空间观念。 小学生的空间观念一般表现为：头脑里有常见平面图形和立体图形的数学模型，知道这些形体的名称、形状、结构特点，看到某个物体能够想到其数学模型和数学名称，想到某个模型或者听到某个名称，能够在身边找到相应的物体；从正面、侧面和上面观察某个简单的物体，能够用分别看到的图形表示这个物体的形状与结构；能够想象出简单几何体的表面展开图，能够根据表面展开图想象出几何体；能够把稍复杂的组合形体分解成若干简单形体；能够数学地描述物体的运动方式以及所在位置。 可见，核心概念不是指某一个或某几个具体的数学知识，而是许多相关数学知识的概括提升；核心概念不是另外教学的数学内容，而是蕴涵在相关数学知识的教学之中的上位概念。 正如课程标准修订组核心成员、东北师范大学教授马云鹏所说的：‘核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。数学内容的四个方面都以10个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。 课程标准（实验稿）提出六个核心概念，分别是‘数感’‘符号感’‘空间观念’‘统计观念’‘应用意识’‘推理能力’。课程标准（2011）提出十个核心概念，分别是‘数感’‘符号意识’‘运算能力’‘空间观念’‘几何直观’‘数据分析观念’‘模型思想’‘推理能力’‘应用意识’‘创新意识’。把课程标准修改前后的核心概念比一比，可以看到：新增加了四个——‘运算能力’‘几何直观’‘模型思想’‘创新意识’；较大改动了三个——‘数据分析意识’‘推理能力’‘应用意识’；另外三个——‘数感’‘符号意识’‘空间观念’的修改不大。下面我们看一看新增加的和较大改动的七个核心概念。 1.运算能力。 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 重视运算能力是我国小学数学教学的优秀传统，我国学生的运算能力受到世界瞩目。有关运算的知识主要是四则计算的意义、法则，四则混合运算顺序，运算律和运算性质等。有关运算教学的要求是学生获得重要的计算知识，能够正确、熟练、合理、灵活地应用运算知识，解决相应的问题，包括计算题和实际问题。 进入新课程，数学教学的内容发生了很大变化。增加了许多十分有意义的数学知识，如图形的运动、图形的位置、数据统计活动、事件发生的可能性、探索规律和实践活动等。有关计算的教学内容也有很大变动，一是精简了大数目的计算，整数加、减法一般不超过三位数的加或减，整数乘、除法只到三位数乘或除以两位数；二是重视口算、加强估算；三是使用计算器进行较繁琐的计算。而且，用于计算教学的时间比过去少了。所以，培养学生的运算能力是数学教学面临的一个课题。 学生的运算能力一般表现为：能够选择恰当的计算形式解决问题，做到可以口算就口算，需要笔算就笔数，不要精确得数就估算，遇到大数目的计算就使用计算器；追求计算结果正确，有及时检验得数的习惯，能够采用合适的方法进行验算并随时纠正计算错误；有简便运算的意识，能够根据具体情况，合理而灵活地利用运算律或运算性质，提高计算效率。 课程标准重新提出运算能力，是对数学教学的要求。计算毕竟是数学内容的一部分，是常用的数学活动之一，是学习和应用其它数学知识不可缺少的工具。既不能因为增加了许多其它数学内容而忽视计算教学，也不能以传统的计算教学来要求和衡量新课程的计算教学。 学生的计算应该达到适当的速度要求。课程标准提出：20以内加减法和表内乘除法口算，8～10题／分；百以内加减法和一位数乘除两位数口算，3～4题／分；两位数和三位数加减法笔算，2～3题／分；一位数乘除两位数和三位数笔算，两位数乘两位数笔算，1～2题／分。这些速度要求，是大多数学生经过适量练习就能够达到的，不会耗费过量的教学资源，而影响其它数学内容的教学。这些速度要求，能够基本满足继续学习数学和解决实际问题的需要。这些速度水平，一但形成，能够维持，不会有过大的衰退。 2. 几何直观。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 几何直观可以看成‘数形结合’的手段与方法。‘数形结合’是一种数学思想方法，指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容，利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。 数学是抽象的，儿童喜欢具体形象的思维，几何直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系，如用线段图表示相差关系和倍数关系，用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系，用简单图形表示田地面积的变化等，这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。 几何直观是人们理解复杂的数学问题，探索其解法的手段，是人们解决问题时经常采用的策略。课程标准提出几何直观，不仅教师要充分利用这个手段教学数学知识，还应该培养学生自己运用几何直观的习惯和能力。要联系实例让学生体会什么是几何直观，感受几何直观对解决问题的积极作用；要指导学生画图，初步学会几何直观；要鼓励学生经常运用几何直观，逐步成为个体的解决问题策略之一。 3. 模型思想 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 ‘模型’是一种表达形式。数学模型表达的是客观现象里的数学内容，是对数学内容的高度抽象与概括，最本质且最简练的表达。所以，人们还把数学定义为‘模式的科学’。数学关系式或者数学图像都是数学模型，如小学数学里的正比例关系就是用关系式‘ x(y)＝k（一定）’表示的；或者在直角坐标系里，用从原点（0点）出发向右上方的射线表示。这些就是数学模型。 弗赖登塔尔指出：‘学习数学就是学习数学化’。所谓数学化，是指从数学的角度看现象、用数学思维想问题，用数学方法解决和解释问题，建立数学模型就是数学化。建立和求解模型的过程大致由三部分构成：一是从具体对象里抽象出数学问题；二是用数学形式表示变化规律或各种关系；三是求出结果、解释其意义。可见，建模过程是数学化过程，模型思想有助于学习数学，有利于发展数学思维，数学教学应该重视模型思想的培养。 小学数学里称得上数学模型的不是很多，但含有模型思想的数学内容却不少。如从‘每小时行驶的千米数×行驶的小时数＝一共行驶的千米数’‘每分钟走的米数×走的分钟数＝一共走的米数’等具体的数量关系式，概括出‘速度×时间＝路程’，再用字母公式‘s＝vt’表示，这个过程里就有模型思想。又如从大量事实概括出‘交换两个加数的位置，和不变’，并用字母式子‘a＋b＝b＋a’表示这条运算律，也是富有模型思想的过程。再如‘方程’就是数学模型，列方程解决实际问题就是建立模型、应用模型的活动。 小学数学培养模型思想，不一定要学生写出十分规范的关系式或画出十分规范的图像。让他们用自己的语言或喜欢的其它方式表示发现的数学规律、认识的数学现象，都能促进模型思想的发展。 4．创新意识。 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。 历史告诉我们，创新精神对于振兴中华民族是十分重要的。民族的创新精神，源于其每一个成员的创新意识和创新能力。 ‘创新’在不同范畴有不同内容。创新的狭义含义是指创造出人类从未有的、完全崭新的成果，包括新的理论、新的作品、新的工艺、新的方法等，这些创新是对全人类的贡献。创新的广义含义是指某个群体或某个人创造出对自己而言的的新认识、新发现。如果说，对于全人类的创新经常是科学家、发明家和少数优秀人才的成就，那么属于个体的创新则是每一个人的可作可为。而科学家、发明家的创新能力，也是在个体的、初步的创新意识基础上发展出来的。所以，培养学生的创新意识，既直接关系到每一个学生的精神面貌，也间接关系着若干年以后的人类新创造。 在现有的数学教学中培养创新意识，要改变教与学的方式。使一些数学内容的教学，由教师传授变为学生探索。鼓励学生猜想、验证；实验、发现；质疑、探索；合作、交流。经常在教师的引导和组织下发现新知识、建构新认识，他们的创新意识就得到了应有的培养。 5. 数据分析观念。 数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断， 体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 进入新课程以来，小学数学的统计教学发生了很大的变化。从过去以制作统计图表为主要教学内容，变成以统计活动为主要教学内容。提出‘数据分析观念’要促进统计教学的进一步改革。 首先，统计是人们认识现象、解决问题的一种重要方法。如，要了解一个单位的员工年龄结构和文化程度结构，就可以就这两个内容进行统计；要了解物价的情况以及对人们生活的影响，需要进行有关的统计；要了解儿童的体质状况和生活方式的变化，也可以通过统计…… 其次，统计总是围绕数据而进行的，统计的主要活动是关于数据的活动，统计过程一般是‘收集和整理数据、分析和利用数据’的过程。统计结果一方面有其客观性，另方面有其局限性。所谓统计结果的客观性，是指数据都是真实的，一般是经过调查得到的；统计结论是根据实实在在的数据得出的。人们常说‘没有调查就没有发言权’‘用数据说明问题’，都是肯定了数据的客观性。所谓统计结果的局限性，是因为分析数据要在现实的背景下进行，同一组数据，在不同的背景下会表达出不同的意思，引起人们不同的思考。如某所学校对教师的课堂教学水平进行了调查，随堂听课的优课率15％、良好课50％、合格课25％、较差课10％。这组数据如果与该校过去的课堂教学水平比，可能看到有了明显进步；如果与所在地区各学校的整体课堂教学水平比，可以看到该学校处于什么位置上；如果与其他高水平学校比，可以看出还存在的差距。这是同一组数据在不同背景下，反映出不同的信息。离开了现实背景的数据并不能说明什么问题。另外，数据还是随机的，需要有足够的数据才能比较客观地反映出事实或规律。如评价一位教师的课堂教学水平，如果只考察他的一堂课，往往会有片面性。如果考察几堂甚至几十堂课，得出的评价就会客观一些；如果对这位教师教学各类知识的课堂分别进行充分的考察，得出的评价就更加可信。 统计教学的目的在于培养学生的数据分析意识与能力，具体些说，一要学生关注数据、重视数据，体会到数据不是枯燥的数字，而是蕴含着丰富的信息内容；二要学生收集信息，通过整理获得有用的数据，并用适当的统计图表呈现数据，直观反映出数据特征；三要学生对数据进行深入的分析，用数据解释事实、判断是非、预测未来。 6. 推理能力。 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 从已有的判断得出新判断的思维形式叫做推理，推理是常用的思维形式，人们经常通过推理，实现‘由此及彼’的思考跨越。 数学教育历来很重视演绎推理，因为它十分严密。演绎推理是从一般到特殊的推理，它根据已有的事实，按照逻辑的规则，得出新的结论。例如，前面提到的六年级（上册）教科书里的分数乘整数‘5(1)×3’的算法就是通过演绎推理得出的。从个别例题得出分数乘整数的计算法则以后，再进行其它的分数乘整数，只要按照法则进行。这时，按已有法则进行同类计算，可以看作演绎推理。再如，认识运算律以后的简便运算，其思考是按照‘因为…所以…’进行的，也是演绎推理。数学教育应该培养学生的演绎推理能力，也确实有着许多培养机会。 推理不只是演绎推理，合情推理也很常见，主要有归纳推理、类比推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，它根据部分实际例子，形成具有普遍意义的概念或规则。例如，对小学生来说，分数除以分数的计算法则很难通过演绎推理得出，教科书采用合情推理，鼓励学生猜想并验证，给予学生很大的自主探索空间，避免了‘直接灌输’式的机械学习。再如通过对若干个长方形的研究，得出所有长方形都具有‘对边相等、四个直角’的特点。通过1～2道两位数乘两位数的算法探索，得出计算法则。这些都是不完全归纳在小学数学教学中的的具体应用。归纳推理有完全归纳和不完全归纳，小学数学里一般都是不完全归纳。类比推理是特殊到特殊的推理，它根据个案之间已经存在的一些关系，联想还会有其它的共同点或相似点。如已经知道比与除法有联系，除法与分数有联系，于是认为比和分数也会有联系，认为比也可以写成分数的形式；已经知道除法有商不变性质，分数有基本性质，于是认为比也有类似的性质。这些‘认为’都是类比推理的结果。 数学教育只重视演绎推理是不够的，合情推理也十分重要。合情推理比较开放、比较活泼，往往含有猜想、估计、预测的成分，人类的许多发明、发现都起源于合情推理。合情推理得出的估计、猜想，经过演绎推理的验证，如果是正确的，就是人们的创新。如果不正确，还可以修正或者放弃。所以说，演绎推理与合情推理的功能不同，却相辅相成，缺一不可。既然数学教育曾经忽略了合情推理，那么应该注意加强。新课程重视合情推理，并不意味轻视演绎推理，而是在继续重视演绎推理的同时，也关注学生的合情推理能力。 心理学认为，演绎推理是必然性推理，只要推理的前提和线索正确，结果就一定正确。合情推理是或然性推理，即使前提正确，结论未必一定正确，其正确性需要证明。小学数学里的不完全归纳推理和类比推理，虽然难以进行严格的证明，还是应该让学生充分经历两个过程：一是广泛地列举具体事例，即学生人人举例，各人具的例子不同，从众多的实例中归纳出来的结论，可靠性和说服力会强些。二是积极寻找反例，只要能够找到一件反例，就否定了原来的结论。如果实在找不到反例，才能看成正确的结论（严格地讲，还只是猜想）。 7. 应用意识。 应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体 人们学习数学的目的，不只是获得数学知识和技能，更是要应用数学知识、技能、思想、方法去解决日常生活、生产劳动、科学研究里的实际问题，即形成个体的数学能力。 具有数学知识是形成数学能力的必要前提。但是，知识的多与少和解决问题能力的高与低不成正比，未必知识越多，能力越强。影响数学能力的因素相当多，除了数学知识与技能，应用意识也十分重要。所谓‘应用意识’，更多体现在个体主动地利用自己已经掌握的数学去解决实际问题，并有取得成功的愿望与信心。如果在日常生活中，眼睛‘看不到’数学，心里‘想不到’数学，都是缺少应用意识的表现。 学生学习数学，要完成许多数学练习题。可以这样认为，他们解答每一道数学题，都在应用数学知识解决问题。尤其是解答应用题，具有解决实际问题的意味。遗憾的是，几乎全体数学教师和学生，都把数学练习看成巩固知识、培养技能的数学训练。只关注学生解题的结果是否正确，做作业的态度是否认真，他们的解题思考是否顺畅，解题方法是否熟练。并没有把培养应用意识放上应有的位置。 对于数学练习能否培养学生的应用意识，曾经有过争论。确实，由于数学练习的某些特殊性（练习环境、练习心态、练习题的素材与呈现、练习结果的处理等），在培养学生应用意识方面有很大的不足。但是，数学练习是必须进行的，如果改变数学练习题的素材、结构与呈现方式，改变数学练习环境与心理状态，改变练习的评价视角与方法，应该在培养学生的应用意识方面有所作为。 课程标准把应用意识作为核心概念，指出应用意识的两方面含义。要求数学教学从学生‘有知识’‘会解题’变成学生‘善于用数学解决实际问题’‘善于从现实生活中获取数学认识’。为此，数学教学应该很好地联系学生实际和社会现实，组织起有意义的教学素材和有价值的教学活动，特别是形成数学知识与应用数学知识的过程。让学生充分体会到‘现实’既是数学的源泉，也是数学的归宿，从根本上提高数学教学和数学学习的目的性。虽然数学教学的主渠道是课堂教学，但是必要的‘走出教室’，走进学生现实的生活、走进学生身边的社会，从中学习数学、体验数学，是不能少的补充。课程标准设计的‘综合与实践’，是培养应用意识的教学内容。
数学活动经验的教科书实施 章飞（江苏 南京210013）． 20世纪90年代中期，就有学者对“数学活动经验”进行了理论阐述，如“个体数学素质结构形成与优化过程，存在于主体的主动性数学活动过程中，并以丰富和条理化的数学活动经验为主要操作内容”，“数学活动经验是内隐于个体的，是对个体以往经历的概括，同时又自觉不自觉地迁移到新的数学活动之中（通过影响其认知方式和思维方法等）”，“具有‘发展动机促进学习“加深理解提高能力“优化认知结构’等学习功能”，…同时数学活动形式多样，也具有情感激励的功能，新世纪初，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）的课程目标中指出：“获得适应未来社会生活和进一步发展的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）．”[2] 2005年开始的义务教育国家数学课程标准修订中，标准修订组更是将其与基础知识、基本技能、基本数学思想方法并称为学生数学学习的“四基”．
然而，在实践层面，数学活动经验这一课程目标缺失的现象还十分普遍，备课、说课等活动中很多教师并没有明确数学活动经验这一课程目标，课堂实施中也没有达成这样的目标，[3][4]现行课程标准实验教科书已经内蕴了丰富的数学活动，但这些洁动的设计显得较为“零碎”，编写时如能系统设计，使内蕴的数学活动形成一个系统，将便于发展学生的数学活动经验，对数学教学产生更好的导向
作用．
一、嵌入丰富活动，展现活动过程，引领教师的教学方向
数学活动经验是一种缄默知识 [5]缄默知识，更多的是在活动中，通过教师的外显，学生的意会、
感悟而获得，从做中学．因此，数学活动经验的获得首先是基于活动的，只有经历丰富的数学活动，学生才能积累足够的数学活动的原初经验，当原初经验积累到一定的水平时，才能形成自身的感悟，获得数学活动经验，并不自觉地将这些经验迁移运用到后续的数学学习中．因此，学生活动经验的培养需要以大量的数学活动为基础，作为引领教师教学的教科书，应嵌入丰富的数学活动，展现并引领师生经历数学活动过程，从而培养学生的数学活动经验．现行教科书已经认识到这一点，如几何课程，一改过去“定理一证明一例题一习题”的呈现模式，设计了丰富的测量、实验等探究活动，在活动中经历结论的探究过程，发展学生的探究意识和空间观念，
事实上，“磨刀不误砍柴工”，数学活动也许耽搁了一些课堂教学时间，但所得到的经验积累有助于提升学生对于知识的理解水平，有助于后续知识的学习．例如，线段的比较时，可以呈现下列问题：人和旗杆哪个高（差异明显的）?两支钢笔哪支长（长短相近的）?长方形纸的两条邻边（比较接近）哪条长？一扇长方形窗户的两条邻边（比较接近）哪条长？你们是如何比较的？交流的基础上总结出各种比较方法：①相差比较大时，直接估测；②相差不大时，如果是实物比较，将两个实物平移到一起，观察两端状况；③如果不好移动，可以设法截取与其中一个一样长的线段并平移过去，如利用圆规；④直接度量．与角的比较类似，先前线段比较中积累的活动经验，可直接迁移到角的比较学习中，甚至可以要求学生回忆线段的比较方法，自主思考角的比较方法．
二、围绕核心数学，精心设计活动，完善学生的数学结构
数学活动经验的发展基于活动，但数学活动并不局限于操作性的实践活动．从活动的外在形式上，数学活动可以分为“数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动以及关于数学的交流活动”．[6]而实际上，不管哪种外在形式的活动，总是服务于一定的数学目的的，所以，从数学活动的目标指向上分析数学活动，可能更具意义，从上面数学知识生长框图[7不难发现，从现实到数学的抽象、概括，数学内部问题解决中的等价转化、归纳类比、尝试猜测，问题解决后的拓展延伸、变式发展，数学知识系统的建构，数学知识的主动运用等，都是核心的数学，教科书应立体地展现这些核心的数学过程，帮助学生积累这些核心的数学活动经验，提升学生的相关能力，完善学生的数学结构．
课程标准实验教科书已经做了很多好的尝试，如关注了现实问题的抽象、数学知识的运用，关注了归纳推理等，但还有很多提升的空间，如对于问题解决后的拓展提升、变式发展，教科书可以通过案例的形式让学生感受变式，甚至揭示变式的方法，提出变式的要求，形成变式的丰富经验，从而形成自主变式的能力，只有这样才能使学生跳出题海，减负增效，[8]例如，针对例题：如图2，AB =AC，BD，CE分别是AC，AB上的高，求证：BD= CE.解答后，可以呈现下列变式：①根据条件，从图中你还能得到哪些结论（相等的线段、相等的角，全等的三角形、等腰三角形）?②三角形中，还有哪些特殊线？腰上的中线是否相等？角平分线呢？③试添加一个条件，使得B=CE.当然，还有一些核心的数学活动并没有得到普遍的认同，如问题的提出、尝试猜测、知识系统的建构等，下面仅以尝试猜测为例加以说明．
“尝试猜测，教科书呈现颇费笔墨，不甚精练、规范，有失教科书的示范性”，教科书“不愿”呈现；“尝试猜测，那得耗费多少课堂教学时间？如何保证课堂效率？而且将来考试也不太好考查．”——很多教师都有这样的想法，可见日常教学中忽视尝试猜测成为一个普遍的现象．但尝试猜测对学生的数学学习、未来发展具有重要的教学价值，理由如下：①尝试猜测是问题解决的自然思路之一，面临一个数学问题，可以分析题目特征，设法转化归结为已有的问题或借助已有的经验求解，但并非每一个问题的化归都那么显然，此时尝试猜测是一条自然的思路；②对于低龄段学生而言，其化归经验和能力欠缺，因此会更多地选择尝试猜测的思路；③对于数学的一些本原性问题（如勾股定理），前面没有知识可以化归，只能选择尝试猜测；④从尝试猜测走向数学，学生通过比较可以感受到数学方法的简洁，更好地理解数学方法；⑤尝试猜测增加了学生成功的机会，学生的学习更为生动活泼；⑥学生在未来的生活、工作中遇到的问题，多数没有理想的数学方法（或者学生不一定掌握这些方法），但不能因为自己不掌握，就甩手不干，需要获得不影响实际问题解决的结果，这时尝试猜测、逐步调整逼近，就是最为自然的思路；⑦尝试猜测，有助于发展学生的探究意识、探究勇气，因此，教科书应尽可能呈现大量尝试猜测活动的机会，
下面以初中方程求解教学为例加以说明，一元一次方程的求解，建议教科书首先呈现一个两边都含有未知数的一元一次方程（其解是一个整数），要求学生自己尝试求解（鼓励猜测，只要得到结果都行），并与同伴交流，最终汇总并评价解法．这个问题比较简单，学生基本都能独立求解，方法也较为多样，如先整理为标准形式，然后用小学的逆运算解决或者用等式变形的技巧求解．当然，由于其解被设计为整数，学生也可能尝试猜测得到结论（代入比较，不断调整）．展现这一过程，可以尽早点明尝试猜测本身也是这类问题求解的常见策略．
同时，这一过程有助于加深对方程解的认识．（恒等变形容易脱离方程原有的意义，而通过调整数据使得方程两边相等，可以更好地体现方程解的意义．）
此外，接着的方法比较中，可以改变方程（解为小数的情况），让学生体会到几种方法之间的联系和差别，体会学习等式变形方法的价值，在编写二元一次方程组的求解时，在现实背景中得到二元一次方程组（取背景中解为正整数的）后，可以设计活动：适合第一个方程的（x，y）有哪些，适合第二个方程的（x，y）有哪些，你能找到同时适合两个方程的（x，y，）吗？你能解决刚才的那个现实问题吗？以上案例可以再次丰富尝试猜测的经验．一元二次方程部分，在现实背景中得出几个方程并抽象出概念之后，专门设计一个课时，[9]顺应学生迫切希望求解的心理，要求学生探索这些方程的解，当然，为了便于学生的探究，第一个问题选择上一课的第1个问题“花边有多宽”，其解“恰”为整数，然后解决第2个问题“梯子下滑问题”，其解是一个无理数，学生无法求出其精确解，但借助已有的经验可以求出其近似解．具体设计时，注意根据实际意义，思考这个解可能的范围，然后通过代入求值、比较鉴别、调整逼近逐步得到其近似解．最后还可以丰富尝试猜测的经验——交流并明晰逼近的方法，
事实上，初中这样的尝试机会还有很多，如对于不等式的求解、无理数的估算、一些几何结论的探究．教科书应尽可能创设这样的机会，让学生大胆地进行尝试猜测，使得学生面临一个问题时，除了能采用数学的手段（转化归结）之外，还能自然地想到尝试猜测、逐步逼近，
三、遵循经验发展规律，科学展开活动内容，渐次发展活动经验
活动经验的发展具有一定的规律．第一次数学活动中获得原初经验；第二次遇到相同情景时，经
验再现，称为再生经验；再次遇到类似情景时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”重复运用这种经验时，这种经验就成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后才能内化为经验图式．因此，学生获得数学活动经验的过程至少需要经历以下几个基本阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段．[10]因此，对于某一方面具体的数学活动经验，教科书中需要遵循活动经验发展的规律，循序渐进，整体规划．
（一）活动需要适当反复，以促进原初经验的形成
活动经验，是一个长期的积累过程，所以，希望一步到位获得数学活动经验是困难的，为此，教科书应注意适当地重复，在活动的重复和提升中，通过原初经验的再生、再认，进而形成对这些丰富经验的概括、提升．
例如，义务教育阶段，概率教学的目标是发展学生的随机观念，利用随机观念解释现实世界中一些简单的随机现象，作出决策．具体的要求：感受生活中的随机现象、感知可能性的大小、刻画可能性的大小、认识到理论概率和具体频率并不一致、能理解模拟实验或随机抽样结果的随机性等．[11]显然，从这个层面看，随机观念的获得，不是简单的说教、讲解所能完成的，需要设计具体的实验活动，再通过活动结果的分析、比较、交流以及教师的提升、揭示，形成对随机性的认识．同时，也可以发现随机性的理解是十分困难的，在原初经验时仅仅靠教师揭示、提升是不够的．因此，教科书[9设计了多次实验（一步的非等可能的实验、等可能的实验、两步实验、实验频率估算概率等），在多次实验中循序渐进、逐步提升学生的随机观念．
（二）经验需要适度外显，以促进经验的条理化
个体在活动中获得的经验，往往是模糊、零散的，要将这些模糊、零散的经验清晰化、条理化、系统化，最重要的途径就是外显这些经验，当然，外显的方式是多样的，可以在活动后要求学生进行经验的讲解、交流、评析，这样既“迫使”学生主动外显经验，使得经验社会化，同时通过社会化的碰撞又可以产生新的活动经验，加深理解．可以是活动后教师、教科书的明晰、总结、提升，还可以是下次活动中的调用，
如，为了外显方程求解中的化归经验，教科书可以采取如下设计：
在求解一元一次方程时，教科书可呈现提示性语言“‘目标是x=？，可知道的是‘3（x+l）-8=7’，把x身上的这些‘包袱’丢掉就好了”，让学生自主尝试求解，并交流各自的思路，说明是怎样将“包袱”丢掉的，求解二元一次方程组时，呈现提示性语言“一元一次方程我会解，二元一次方程……”引导学生将二元一次方程化为一元一次方程，学生求解后交流各自的思路，最后教科书上点明消元化归的想法．
求解一元二次方程时，在抛出前面情境中的方程x2 +12x - 15=0后，设计下面的议一议活动：
(1)你能解哪些一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？x2 =5，(x+2)2=5x2 +12x +36 =5.（教学中这一问一般都会跳过，此处能更好地明晰化归的思路．）(3)解方程x2+12x -15 =0的困难在哪里？你能将方程x2 +12x －15 =0转化成上面方程的形式吗？这里，再次引导学生思考“能解决哪些问题”，“现在的困难是什么”，“如何转化为已经解决的问题”，将化归的思想清晰地展现出来．
数学问题的求解，多数都可化归，教科书中如能尽可能点明这样的思路，学生经过长期的耳濡目
染、亲身体验，何愁不能形成化归的经验，最终内化为解决问题的图式？
（三）活动需要精心设计，以确保学生的参与度
活动经验的积累，需要学生的情感参与．只有学生情感参与了，才能保证活动的质量，当然，这更多地需要教师对和谐民主教学氛围的创设以及教学现场的灵活处理，但作为教科书，也可以在活动内容、活动方式的选择上作出一定的示范引领．如整本教科书中应关注活动方式的多样，对于具体活
动，应做到：力求贴近学生的生活实际；活动工具唾手可得；活动具有可操作性；不同认知水平的学生都能参与活动，学力可及，能获得一定的成功体验；活动具有一定的开放性，活动过程中能产生多样的结果或思路，便于学生的交流，能促进不同层次学生的发展等．
例如，对于平行四边形性质的探究，要求学生借助三角板、直尺等在作业本上作几个平行四边
形，思考：其中有哪些特殊的数量关系（相等的线段、相等的角、全等的三角形等）、哪些位置关系
（平行、垂直等）?你是如何发现的？你能设法验证你的结论吗？这一活动目的明确，同时具有普适
性（对于其他图形性质的研究也是如此，具有哪些特殊关系，如何发现的，如何验证等，因而这种经验积累可迁移到其他图形性质研究）；这一活动借助手头就有的纸、笔、尺，操作性强；另外，它起点低，所有学生都能人手，都能发现部分结论，获得自己的成功体验；验证、说理方式多样，便于学生交流；同时能较好地体现学生的差异，类似地，得到平行四边形的判定条件之后，可以要求学生在纸上用尽可能多的办法作出一个平行四边形，并说明自己的理由，
总之，设计教科书时，应关注数学的本质，设计丰富，多样、对学生未来发展具有核心作用的、具有较高操作性的数学活动，并通过适当的方式外显其中内蕴的活动经验，促进学生数学活动经验的发展、提升，以达成相关课程目标．
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【原文出处】《课程·教材·教法》（京），2010.12. 45—49
张兴华：重提数学教学心理学 （转载）
- 作者： 来源：人民教育
- 不久前拜读了郑毓信教授一篇论述变式理论的文章，文中提出了“中国数学教育优秀传统的继承和发展的问题”，并倡导“理论视角下的小学数学教学”，给我许多启示。由此想起了小学数学教学心理学实在也算得上是优秀的传统理论，因为多年来许多教师的教学之所以富有成效，多半是自觉与不自觉地运用心理学的原理、规律于实践的结果。只是，近几年在理论上我们比较关注新课程理念，而数学教学心理学却渐渐淡出了我们的视线。也就是说，现在青年教师们已经缺失了数学教学心理学，我们的小学数学教学课程还没有置于科学理论的视角下。
数学教学心理学：经典课堂的永恒支柱 我们不妨留意一下，近年来省级和省级以上教育报刊发表的数学教学论文中已经很少有“数学教学心理学”的核心词。即使有，也是很成问题的。最近常见到“表象”这个词，但多作表面现象讲，如“从表象看，……”列举了一些表面现象后说“……这些都是表象，透过表象，其实质是……”天哪！表象是感知过的事物留在脑中的形象……，怎么能望文生义说成是表面现象呢？再一个就是“变式”。变式只是心理学理论沧海之一粟，不知什么时候引得大家的热捧和关注，谈得不少。有上升为“变式理论”的，有总结为“变式教学模式”的，也还有解释为变化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之类，只要式子变化了就是变式！学科教学心理学这块刚被开垦的处女地，现在又是杂草丛生，满目荒芜了。但是，耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的教学设计，在其背后都能找到数学教学心理学的内核。我们不妨来看看张齐华老师“认识分数”的一个片段： 一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道：把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。接着，张老师给每位学生准备了同样的长方形纸，让学生“动手折一折”，并“涂出它的1/2”。学生折啊，涂啊。 交流的时候，有的学生横着对折，涂出了其中的 1/2：<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606001.jpg" width=32 height=19 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606001.jpg">， 有的学生竖着对折，涂出它的 1/2：<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606002.jpg" width=32 height=19 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606002.jpg">， 有的斜着平均折成两份，涂出了它的 1/2：<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606003.jpg" width=69 height=20 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606003.jpg">，张老师指着这些不同形状的阴影部分问学生：“这些阴影部分形状不同，为什么都是这张纸的 1/2？”学生一一回答：“我把这张纸横着对折，就是把它平均分成两份，其中这一份当然是它的1/2。”“我把这张纸竖着对折，就是把它平均分成两份，每一份是它的1/2。”“我虽然是斜着折的，但是是把这张纸平均折成了两份，这一份虽然形状不同，但也是这张纸的1/2。”张老师说，不管把纸怎样折，也不管折成的每一份是什么形状，只要是把这张纸平均分成两份，每一份就是它的1/2。后来，认识1/4时，张老师给学生准备了各种不同形状的纸，要求学生折一折，并涂出其中的1/4，学生折啊，涂啊，出现了这些情况：<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" name=image_operate_22671323699180750 alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606004.jpg" width=180 height=52 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606004.jpg"> 张老师又问学生：这里图形的形状也不相同了，阴影部分形状和大小也都不同，为什么都是原来这个图形的1/4。学生一一回答，都是说我把这张纸平均分成了4份，每一份是这张纸的1/4。最后老师总结道：不管是什么形状的纸，也不管涂色部分是什么形状，只要把它平均分成4份，每份就是这张纸的1/4。这样，学生对1/2、1/4分数的认识达到了概括化程度很高的理解。为什么呢？就是因为运用了心理学变式原理！ 然而，当我私下里与老师们沟通时，却发现大家对这一片段的认识多着眼于当下时髦的学习方式的改善上。有的说这是让学生动手实践得好，折出那么多的1/2、1/4；有的说这是让学生自主探索得好，这是算法多样化，折法多样化，涂法多样化；有的说这是合作交流得充分。有老师甚至不理解张老师两次运用变式的奥妙，觉得两次操作后两次发问几乎一样，是不是有重复和雷同感……他们不知道，张老师在这里两次运用了变式原理，而两次的着眼点不同，第一次用同一张纸，第二次用不同的纸。 那什么是变式呢？心理学研究表明，抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才得以形成。变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。 张老师是深谙此理的，为了使学生能深刻认识1/2、1/4，变换非本质属性，让学生用不同方法折出、涂出各种形状的1/2、1/4，从而突出不管用什么纸折，不管怎样折，只要把纸平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把纸平均分成4份，每份就是它的1/4。理论的光芒是普照的。你真正掌握了变式原理，就可以普遍地运用于概念教学中。比如学习垂直概念，教师开始往往出示标准的垂直图形<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606005.jpg" width=52 height=52 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606005.jpg">，让学生初步认识，相交成直角的两条直线互相垂直，这概念是表征得不错，但这一标准图形的提供，无形中就增加了概念的内涵：相交成直角的竖直、水平方向的两条直线，互相垂直。而看到<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606006.jpg" width=96 height=51 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152606006.jpg">就不认账，这种错误的认识，常常影响到画垂线和在三角形、平行四边形、梯形中画高，而张老师教学垂直，由于深谙变式原理，不仅提供垂直的标准式，而且提供垂直的各种变式，过直线外或直线上一点画垂线，不仅要画水平方向直线的垂线，而且要画出铅直方向的、斜方向的直线的垂线。这样学生对互相垂直就达到了概括化的理解：不管直线方向如何，只要两条直线相交成直角就互相垂直。掌握教学心理的老师在概念教学中就可以自如地普遍应用变式，不懂得教学心理的老师只能是依样学样，机械克隆，如法拷贝。 在概念教学中，说到变式，常常还要说到“反例”。现在的教育心理学已把反例整合到变式中去了，请允许我在这里仍然沿用反例的说法。什么是反例呢？反例就是故意变换事物的本质特征，使之质变为与之形似的他事物，在比较与思辨中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念，在教学中反例常常和变式一并提供。例如让学生辨析： 下面的图形，哪些是角，哪些不是角？（略） <IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607007.jpg" width=108 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607007.jpg"><IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607008.jpg" width=35 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607008.jpg"> 又如让学生辨析，下面哪些图形是梯形，在梯形下面的括号里打√：（略） <IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607009.jpg" width=142 height=114 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607009.jpg"> 如果说，变式是多方面地从正面强化概念的本质属性的话，那么，反例恰恰是从反面来反衬和激生对概念的本质属性的认识。 我们再来看一个教学片段：面积单位（平方分米）的教学。 学生学过平方厘米，知道边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米，而且已经形成了平方厘米的空间表象，之后我让学生用平方厘米度量相关图形的面积、邮票的面积，然后不露声色地让学生度量课始出现的镜框玻璃或凳面的面积，有的学生有点犹豫，有的学生还真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都觉得这样量很麻烦时，我问大家有什么想法，学生说：最好有一个大一点的面积单位来度量，我趁势让学生创造一个大一点的面积单位。有学生创造出了平方分米，我就说：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？学生猜想（实际上是类比推理）：边长1分米的正方形，面积是1平方分米。我随即出示一个平方分米的模型，橘红色的（这里还有感知原理），指着比划着说：“哎！边长1分米的正方形，面积是1平方分米，现在我们来仔细观察平方分米这个面积单位。这里，平方分米是什么形状的？（生答：正方形。）它有多大？（生答：边长1分米的正方形这么大！）看清了吗？（生答：看清了。）看清了，就请大家把眼睛闭起来，在脑子里面想：刚才看到的平方分米是什么形状的？有多大？”（全体学生闭眼回想。）一会儿，我说：大家在脑子里留下了平方分米了吗？（学生仍闭着眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睁开。现在请把信封里的平面图形拿出来（每个人的信封里预先都装着三四个正方形，边长1.2分米的、边长1分米的、边长0.8分米的……）我说：谁能很快地把平方分米挑出来。很多学生都很快地把平方分米挑了出来，相互交流。也有少数学生挑错了，我再引导纠正。 这个教学案例中实际上有五六个心理学原理：如何激发学习动机，如何引起联想，如何激发再造想象，如何组织首次感知，如何建立表象。但是，课上下来，老师们却较多地关注闭眼回想的环节，都觉得让学生“先观察，再闭眼睛回想，又在一堆图形中挑出”特别好，说是把平方分米的意义教活了。至于平方分米的颜色为何是显眼的橘红色，为何要闭眼，为何要挑图形，则不知底里！有的老师在后来自己的教学中竟也乐于让学生闭眼。有一次在随意听课时，我就看到这种情况，老师教的是应用题。通过例题教学，得出了一个数量关系式：总数量÷相对应的份数=平均数，课讲得很好！但是接着就见老师讲：请大家把这个数量关系式仔细观察一下，然后把眼睛闭起来，在脑子里想一想，刚才我们观察的数量关系式是怎样的，在脑子里留下来了吗？学生答：留下了。老师说：留下了就把眼睛睁开。天哪！我让学生闭眼回想是为了让学生把感知过的平方分米的样子留在脑子里，形成表象。儿童认知概念是循着“形象—表象—抽象”的过程进行的。数量关系式已是抽象规则，怎能再拽回到形象、表象的阶段，让学生闭眼回想呢？ 以上两个案例说明现在许多教师数学教学心理学的缺失。尽管许多优秀教师在教学过程中也都注意了解学生的学习状况，改进教学方法，研究并解决各种教学问题，但是都是凭着教学经验而为。当然，教学经验也能帮助我们解决问题，但这种经验没有经过理性思辨，并不能对学和教做出科学的解读，也就常常不具备一般意义。正如上述认识分数教学，仅认识1/2、1/4可以如是拷贝，而不能普遍运用于概念教学中。认识平方分米中的“闭眼回想”，不是包治百病的灵丹妙药，到处可用，而只是为了让学生形成平方分米的表象，把它在脑子里留下来。显然，我们的数学教学确实要置于数学教学心理学理论的视角之下了。
数学教学心理学关注什么 说到这里，究竟什么是数学教学心理学呢？数学教学心理学有哪些内容呢？今天又准备怎样重提数学教学心理学呢？ 心理学独立地成为一门科学，至今已有130年历史。但是，从它诞生之日起，就与教育密切地结合在一起，形成了教育心理学（教学心理学）的应用性研究。把心理学原理应用于学科教学，尽管只有五六十年历史，但已成为学科教学的迫切需要。小学数学的学与教，时刻反映着人的心理活动，亟需在心理学的理论指导下进行实践。数学教学心理学作为一门科学，具有丰富的内容，很难三言两语说清楚。这里不妨从奥苏伯尔的一段话说起，来略谈一二吧！ 关于学习的过程，著名认知心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学生学习新知的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道些什么。要探明这一点，并据此进行教学。”现在，我们不妨把这高度浓缩的一条原理化解开来，看看有哪些心理学原理，让我选择几条来重提一下。 第一，许多心理学原理关注“学生已经知道了什么”。 1．传统的认知心理学中的准备学习就关注“学生已经知道了什么”。 奥苏伯尔的认知心理理论认为：“一切新的学习都是在原有学习的根基上产生的，新知总是通过与原有认知结构中的相关知识相互联系、相互作用后获得意义的。”这样，探明新知赖以建立的相关旧知，使“新知之舟泊于其锚桩上”，就成为学生获得新知的重要前提了。所以，教学某项新知前，教师应在学生原有认知结构中探明：新知需要哪些旧知支撑，并且组织重现、唤起、激活，使学生学习新知处于良好的准备状态，这便是认知心理学的准备学习。 例如，学生学习20以内进位加法“9加几”的计算，教师组织了如下已知进行复习、激活。 （1）<IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607010.jpg" width=153 height=63 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607010.jpg"> 学生逐题分解后，师说：唉，这些数都可以分成1和另外一个数。 （2）9＋（ ）＝10 生齐答：9＋（1）＝10 师（强调）：唉，9加上了1，就正好凑成了10，9和1是一对好朋友。 （3）把下面“△”外的三个数连加起来。动脑筋，很快算出结果来。 <IMG title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607011.jpg" width=90 height=63 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607011.jpg"> 师：（指名算得快的学生）你们为什么算得这么快？ 生：因为9加上1可以凑成10，我先把9加1得10，再用10加上第三个数，10加几一下就算出十几。 教师在亲切的谈话中复现、激活相关旧知，加上学生解答后的追问、强化，凸显了9加几转化为10加几的认知趋势。作为“先行组织者”，相关旧知的复习紧紧对准了新知，促进新旧知识充分地积极地相互作用，形成了固定新知的准备态势和积极的学习心向，把学生的认知推进了新知的门槛。 2. 建构主义学习理论关注的是全体学生各自的建构潜能。 新一轮基础教育课程改革，建构主义学习理论是其重要的支撑理论。建构主义学习理论认为，学习者的知识不是由教师传授而获得的，而是学习者在一定的社会文化背景下，根据已有的知识、经验、方法（在同伴及教师的帮助下）主动地通过意义建构的方式而获得的。其间涉及情境、协作、会话和意义建构四大要素。而所谓“意义建构”，即是要使学习者将新的学习内容与自身已有的知识、经验之间建立起实质性的、非人为的联系，借助自身“已经知道了什么”赋予新知识以意义。这里，学习者已有的知识、经验对于其能否实现对新知识的意义建构具有至关重要的作用。有人会说，这与传统的准备学习不是同一回事吗？其实，这不是一回事！准备学习，是对那些支撑新知学习的已有知识进行复习、唤醒、激活，为新知学习作准备，是教师组织的；建构主义学习不是教师统一组织相关知识复习，而是在一定的情境中由学生自主地调度各自已有的知识、经验、方法（我把它叫建构潜能），与新知相互作用，建构新知意义。因为学生家庭环境、文化背景和思维方式不同，他们已有的知识、经验、方法、思维方式等建构潜能也有差异，基于各自已有经验的建构过程和结果也有不同，这样就出现了算法多样化，但是他们都在主动地建构、主动地发展。建构主义学习的一个重要意义就在于能使全体学生都能有差异地得到发展。 仍以9加几的教学为例，教师创设了一个问题情境，让学生计算9＋6。可怎样计算呢？老师说：“小朋友们一定能自己设法计算出结果。”这是调用学生各自的相关已知来建构新知方法。此时，基于各自原有知识经验建构起来的方法真是丰富极了！有学生说，9＋6，我就从9起，一个一个往上数6个，数得15个；有学生说，我从6里拿出1来，加到9上去，得10，再加上剩下的5，得15；有学生说，我从9里拿出4来加到6上去，得10，再加上剩下的5，得15；有学生说，我把9看成10，就多看了1（多加了1），从6里去掉1，10加5得15；还有学生说，我把9和6都看成5，5＋5得10，再加上少加的4和1，得15……有人说，这不是算法多样化吗？这是的！从教育心理学的角度说，这是建构主义学习理论，让学生在一定的情境中主动地基于各自的已有知识建构新知意义，才出现算法多样化，全体学生都能有差异地得到发展。第一种是基于他数数的经验，第二、三、四种都基于凑10、连加等已有经验建构的方法，第五种则基于朴素的假设思想而建构的方法。 3．关注“学生已经知道了什么”，我们可以借助“原型启发”，解决问题。 我们知道，学习者进行新的学习，比如认识新事物、学习新的概念或规则、解决新的问题等，常常可以受到以前认知的某些类似事物和知识的启示，从而找到获取新知或解决新问题的途径。这种储备在学习者认知结构中的类似事物就是“原型”，它对学习者认识新事物、解决新问题所起的作用，心理学上叫作原型启发。比如，鲁班发明锯子，鸟与飞机，蝙蝠与雷达，简算42/（43×42）等，当然，学习者认知结构中是否具有鲜明的“原型”以及学习者能否根据新的学习任务的特点，自觉地调动相应的原型，以实现“原型”的启发价值，对于个体的学习活动是至关重要的。 …… 第二，许多心理学原理还关注着学生对相关已知的掌握程度。 1． 迁移。 迁移是一种学习对另一种学习的影响。就小学数学的学习而言，迁移主要指先前的知识、技能对后来学习新的知识、技能的影响，如果是积极影响，就称为正迁移（或简称迁移）；如果是消极影响，就称为负迁移（简称干扰）。由于数学知识都是内在联系着的，所以，迁移现象普遍存在于学生的学习活动中。从教学任务看，我们所期望并努力实现的当然是促进性的正迁移（并注意避免干扰性负迁移）。把握迁移原理的教师十分注意利用学生先前获得的认知结构对后继学习施以积极影响，迁移为新的认知结构，并使原有认知结构得以扩展和壮大。 从迁移的原理来看，学生原有的认知结构（也就是已经知道了什么）当然是影响迁移的最关键因素。而直接影响迁移的原有认知结构，有三个变量：可利用性，即在新的学习任务面前，学生原有认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用；可辨别性，就是新的有潜在意义的学习任务与同化它的原有概念系统的可辨别程度如何？也就是说，学习者原有知识与要学习的新知识之间的异同是否分辨清楚；稳定性，就是在新的学习任务面前，原有的起固定作用的观念的稳定性和清晰性如何？原有观念越稳固越清晰，越有助于新的学习。 知道了这一点，组织学生学习时就要注意：在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，为新的学习提供最佳关系和固定点。如学习一个数乘以分数的意义，可以从一个数乘以整数、一个数乘以小数的意义中类推；学习比的基本性质，可以根据比与除法、分数的内在联系，从除法的商不变规律、分数的基本性质中迁移学习。学生掌握了三角形面积计算的推导方法，再学习梯形面积，可利用拼合图形推导这一共同渠道，诱导学生自行迁移到梯形面积的推导中来。 2. 同化和顺应。 我们发现，建构主义理论只是笼统地说明学习者基于已有知识建构新知意义，并没有说明学习者是怎样利用旧知建构新知意义的。关于这一点，传统的数学教学心理学解释得清清楚楚，那就是同化和顺应。所学的新知识由于符合原有的认知结构，从而顺利地为原有认知结构所接纳，即为知识同化。如学习长方形面积计算后，学习正方形的面积计算，由于“正方形是一种特殊的长方形”这一内在联系，很快感受到新旧知识间的相关契合，顺利发生如下的同化过程： （1）感知新知问题情境：正方形面积计算 （2）新旧知相互作用： 正方形是一种特殊的长方形（长和宽相等的长方形） 长方形的长→正方形边长 长方形的宽→正方形边长 （3）同化新知： 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 正方形面积的计算就同化在长方形面积计算的方法中了。 又如学生在学习正方形、长方形、等腰三角形时已形成了轴对称图形的概念，学习圆时，学生发现圆具有轴对称图形的一切特征。因此圆也是轴对称图形。 有些知识一时无法被个体原有认知结构所直接接受，必须进行调整、重组乃至改造，重建新的认知结构，这便是顺应。 比如学习异分母分数加减法，教师先让学生计算：56+36，3.45+33.8，<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607012.gif" width=15 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607012.gif">+<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607013.gif" width=15 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607013.gif">，然后逐题讨论：（1）在竖式中整数加减法为什么要数位对齐？（突出：计数位相同才能相加）（2）在竖式中计算小数加减法为什么要把小数点对齐？（突出：小数点对齐数位就对齐，计数单位相同才能加。）（3）同分母分数加减法为什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分数单位相同，分子可以直接相加。）此时，学生已然明白，所有的加减法计算，只有在计数单位相同时才能直接相加。接着，出示异分母分数加法<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607014.gif" width=16 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607014.gif">+<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607015.gif" width=15 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607015.gif">，问学生：分子能直接相加吗？生答：不能。师问：为什么呢？生答：分母不同，分子不能直接相加，还有学生说：分母不同就是计数单位不同，一个<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607014.gif" width=16 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607014.gif">和一个<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" title="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" alt="张兴华：重提数学教学心理学 （转载）" src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607015.gif" width=15 height=41 real_src="http://xxsx.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/DC922460-AC57-4B7F-889F-E3199D4C0048/20110315/20110315152607015.gif">是2个什么呢？所以不能直接相加。师问：那怎么办呢？学生经过讨论，终于想到用通分的办法，分数的计算单位相同了再相加，新知经过改造，顺应于原有的认知结构中，计数单位相同才能直接相加减。 所以，南京师大涂荣豹教授在其著作《数学教学认识论》中鲜明地指出，建构主义学习的基本模式就是“同化和顺应”。郑毓信教授也曾经说：“建构主义似乎并不能看成一个全新的主张。”为什么这样说？我姑妄猜之，是不是因为实现建构的途径无非是传统心理学中“同化和顺应”的缘故，意义建构的过程无非是同化和顺应。 至于这些“已经知道的知识”，学习者又是怎么获得的，这更关涉到许多认知心理学问题。另外，学习者是作为知、情、意统一的人参与学习活动的，那么，学习兴趣的激发、学习动机的维持、积极学习情感的培养、学习习惯的养成等也都是学习心理学研究的内容。我就不在这里一一重提了。 数学教学心理学对于数学教学实践来说，虽然是永恒的理论支柱之一，但不等于数学教学心理学的理论建设可以停滞不前。歌德有句名言，理论是灰色的，唯生活之树常青。广大教师鲜活的教学实践完全可以走在理论发展的前面，给理论建设提出新的命题，带来新的理性思考，反哺理论的发展。例如组织感知，为保证感知效果，以往的数学教学心理学在实践中非常强调扩大被感知对象和背景间的差异，强调发挥语言的调控作用，使感知带有明确的指向性。这样教学的暗示性太强了，会使学生失去自己收集信息、筛选信息、分析信息的机会。又例如，根据学习准备原则，原先的课堂教学中都安排有“复习铺垫”的教学环节，但是，在学习新知前，安排专门的复习铺垫，会使学生失去自我检索解决问题所需信息的机会，降低学习活动的探究性。课改实验越往深处，类似这样的新思考会越多。老师们，你们既是数学教学心理学的践行者，相信也是数学教学心理学的发展者！
走近徐斌，与智者同行 最近细细品读了《走近徐斌》，这本书是著名特级教师徐斌的著作，由福建教育出版社出版。全书分为两部分，第一部分课堂教学实录与评析，第二部分是新课程背景下的教学探索。 这本书早就在书店淘到，因为很喜欢听徐斌老师的课，所以没事经常翻开这本书，却不知看了多少次，如果不是因为有读书笔记的任务，也想不到把看这本书的一些感受记录下来。每次翻开这本书，字里行间徐老师的一言一行跃然纸上，总像又身临徐老师的课堂，坐在那儿听着徐老师的那特别亲切的声音在悠悠回荡，像是一位智者的声音时时在耳畔回响。偶尔懈怠时总会想起徐老师的那篇《解读幸运》，感慨徐老师成就获得的坚持与努力，“幸运”背面所镌刻着的信念与艰辛，每每想起总会鞭策我继续前行，因为在前方的路上有这么一位智者一直在努力前行，继续努力就是与智者同行，他的名字就像路标、像灯塔，不知指引着多少数学老师在数学教学的路途上不断探索前行。 细细数来很有幸听过了徐老师不少节课，《统计》（2002年邳州）、两位数乘一位数(2004年徐州)、《解决问题策略—画图》（2004年苏州）、《认识小数》（2007年新沂）…… 每次听徐老师的课收获都是很大的，即便有的课曾听过几次，但每每听下来总感觉非常新鲜，每次收获各不相同，徐老师的课看似平淡似开水，但细品如甘醇，而且越品越能感受到其醇香。他的课尊重教材，对教材的教学思想、教学内容、教学目标把握精准，每一点设计都体现了教材的精华，而其中又不乏自己的思考，使得他的教学更加接近学生，接近教学实际，而且所有的课都不追求花俏，就是踏踏实实的教学，每一点的设计甚至每一句话让你感到那么贴切到位，特别是对细节的处理上更是彰显其深刻。 徐老师刚过而立之年就被评为特级教师，但他仍不停探索步伐，下面就是徐老师自己总结了怎样的数学课是好课： 第一阶段：追求完一美，精雕细琢。 一节好课应该“目标明确”“程序严谨”“板书精美”“语言周密”。 第二阶段：多层并进，快乐交流。 “教学目标具体而有层次”“教学手段有时代气息”“教学形式体现小组合作学习…… 第三阶段：真实有效，互动生成。 真正的数学乐园应当是真实自然的师生互动过程，是动态生成方式推进教学活动的过程。 在不断追寻中可以看出徐老师的神与境界。 回顾自己看到自己的差距，刚毕业时没有认真去学习，仅是工作第九个年头教学上才刚上点路，先天的不足造就自己后天不会走的更远，但从徐老师的身上还是找到很多前行的力量。 2004年我曾移植过徐老师的《确定位置》，让我更深层体悟到徐老师在备课上的匠心，座位图移到课始，结合生活经验认识确定位置的方法，再去认识小动物做操的中位置，把书架做了模糊处理，把摆图形改成“找地雷”，另外还有火车票、电影院等，经历“发现生活问题——提炼数学问题——建立数学模型——解决实际问题”，整个设计是让学生在不同的情境中不断经历“数学化”的过程。再上过这节课以后我在课的设计上，课堂的演绎上以及教学的风格上都有了很大的变化，这源于在上课的时候与智者对话，受智者的启迪。可以说直至现在我的教学风格的形成很多还是收益于徐老师的影响。 而后在听徐老师的一位数乘两位数时，徐老师的一个细节让我悟到很多。 徐老师首先让学生结合情境图观察，自己探索“14×2”算法，学生很快得出“10×2= 20 4×2= 8 20 + 8 =28” ，在此基础上，徐老师又让学生自己尝试列出竖式，结果他们的竖式列成了这样： 1 4 × 2 8 2 0 2 8 徐老师并没有直接介绍一般算法，而是让学生用自己创造出来这种方法去计算： 2 4 1 1 3 1 4 3 × 2 × 5 × 3 × 2 然后结合他们的计算组织比较，怎样才能使这种方法更简便？哪一步可以省略？很自然地得出竖式的规范写法和一般算法。 整个过程中徐老师充分发挥了学生的自主性，让学生自己探索算法，尝试列出竖式进行计算，使学生在学习中得以自由穿行；同时又有效彰显了知识的客观性，让学生通过比较交流，达成规范认识，实现了学生个性化学习（自主建构）和数学知识的客观意义（客观规范）之间的自然生长。而且课堂上还能发现徐老师除了要求课本学具摆放有序等以外（行为规范），还经常要求学生独立思考，提问学生“你明白他的意思吗”（良好习惯）等，可以看出在个性化学习过程中，同样需要一种活动规范来约束，让学生在活动中自己知道该做什么、不该做什么，应该怎样做等，这些规范框架犹如在学生自主学习的道路上的构建起一个个“红绿灯”，促使了学生活动更加有序、流畅、有效，课堂因此行云流水，精彩纷呈。 对此我把自己的思考写下来《穿行于算理算法的连接处》发表在《小学数学教学》上。而后受徐老师的影响《计算教学的基本矛盾和处理策略》 一、 情境创设与复习铺垫 二、 算理直观与算法抽象 三、 算法多样与算法优化 四、 解决问题与技能形成 我对自己曾经的认识进行了思考，使自己的认识更加理性，05年以后先后《对情境图使用中的问题与分析》、《学生提问中的问题》、《当前计算教学中问题与对策》等几十篇的论文发表，而这些论文大多都关注了计算领域，这和徐老师的影响是分不开的，就因为有了他这位智者的引领才有了后来那么多的理性思考。其中《当前计算教学中问题与对策》近万字，很多观点也都是受徐老师的影响。 一、问题： 1．口算思想与方法的本质流失。 2．问题情境与“数学化”的对接错位 （1）流连忘返，不知归路。 （2）过度开采，喧宾夺主。 （3）蜻蜓点水，买椟还珠。 3．动手操作与探究算法的假性需求。 （1）奉命操作。 （2）“时令”操作。 4．与算法的硬性链接。 （1）舍理求法。 （2）法理分明。 （3）重理轻练。 5．形式训练与变式训练的作用异化。 二、对当前计算教学的几点建议 1．寻根固本，彰显口算基本意义与方法。 （1）结合价值引领，促使学生“想口算”。 （2）加强对口算本真思想与方法的训练，促使学生“能口算”。 （3）多种形式展开练习，使学生“会口算”。 2．取舍有度，实现问题情境与数学化有机融合。 3．有效训练，让动手操作与探究算法实现自主需求。 （1）操作常态化训练。 （2）操作后及时反思内化训练。 4．来回穿行，促进算理与算法的自主统一。 （1）要适时架桥铺路。 （2）增强反复体验。 （3）自主实现统一。 5．合理嫁接，传统方式与现代方式的优势互补。 （1）情境与引入与复习铺垫的嫁接。 （2）动手操作与教师精讲嫁接。 （3）意义建构与精练嫁接。 细细对比很多观点是从徐老师那儿学来的，正是不断向徐老师学习自己才不断进步，而今徐老师又推出“无痕教育”，“天空未留痕迹，鸟儿已经飞过”，教育是无痕的，“无痕”的教育或许才是真正的教育，期待着，学习着。 以问题教学改变“教与学”的方式 主持人：蒋徐巍 辩 课：钟长军 陈培群 陈洪杰 王文英 徐 燕 张秋霞 潘小明 陈春苗 杨爱军 夏 权 顾春文 整 理：张秋霞 一、教者说课 蒋徐巍：刚才听了两节课。从课的内容看，这两节课是连续的课。第一节课是单式折线统计图，初步认识折线统计图；第二节课是复式折线统计图，在单式的基础上进一步学习。从参加对象看，今天的活动是由两个名师工作室携手参加,这是辩课以来的第一次。更为巧合的是，两个工作室都致力于“问题教学”的研究。因此,这次活动的主题就确定为“以‘问题教学’改变教与学的方式”。 第一环节，先请上课老师对上课内容和背后的设计思考作一个简单的介绍。 钟长军（江苏省太仓市新区第二小学）：我的这节课是紧紧围绕折线统计图点和线的作用展开的。我们提炼的核心问题是：点已经能表示数据的多少，为什么还要连成线？这个问题的提炼经过了我们反复推敲。因为折线统计图的主要价值体现在可以看出数量增减变化的情况，根据这种变化情况判断整体发展的趋势，并进行预测和判断。在试上的过程中，发现学生很难自己体会，往往需要老师刻意的追问后，才勉强得到。通过课堂观察，我们发现，学生是因为受条形统计图的影响，把“表示数量的多少”作为关注点，因此，我们认为把学生的视线从点吸引到线上,就能够突破学生之前经验的限制，跳出“数量的多少”这个框框。这时，“点已经能够表示数据的多少，为什么还要练成线？”这个问题就出现了。从今天这节课上我们可以看到，这一问题把学生的思路打开，让他们跳出数量去思考其他的问题。 另外，我想有三点说明：第一，在研究点的作用环节，我花的时间多了些，主要是让学生关注这个点所表示的数量包含两个方面的信息，一个信息来自于横轴，另一个信息来自纵轴，为后面的数对学习作简单的孕伏。第二，后移了条形统计图和折线统计图的对比，以此加深学生对折线统计图特点的认识。第三，关于数据分析不是通过专门设计练习，而是渗透在各个环节的问题中。 蒋徐巍：钟老师的这节课，以“有了点为什么有线”作为核心问题引出这节课。下面让我们一起听一下陈老师介绍这节课的构成。 陈培群（上海市闵行区教育学院）：我以平和的心态来上这节课，稍带好奇，不知道会遇到一群怎样的孩子，也很好奇在课堂上会遇见怎样未知的自己。上完课我很开心，因为我脑子中想得更多的是，如果孩子跟不上我的定位，我的目标将作怎样的调节处理，如果他们可以，我又往什么方向去发生，一节课后感受到孩子的变化。 这节课经过长时间的思考和研究。刚上时目标的定位：1.经历复式折线统计图产生的过程，能读懂复式折线统计图，体验其在比较描述数据中的作用；2.能根据复式折线统计图对数据进行简单的分析和判断，并能做出合理的推测，发展学生的统计意识和提高统计能力，感受统计对分析和解决问题的价值，感受数学和生活的联系。 课上，这些素材的选择经过了好多年。其中“吐鲁番气温”、“龟兔赛跑”等题目用在了考试内容上，老师和学生都很有兴趣，于是把他们作为了这节课的素材。这节课之前上的时候，觉得前半节课比较“冷”，当时在出示了两个城市的气温统计图以后，由老师自己提问题，哪些时间段，上海的气温高，哪些时间段吐鲁番盆地的气温高，一共提了三个问题，前一个一幅图就回答，后两个问题要关注两幅图，以抢答的形式教学。第一个问题很快就过了，第二个问题就慢了，回答得时候比较困难，感觉到了问题的存在。于是带着潘老师工作室的问题进行思考，当孩子想把两张表折叠在一起时，横轴和纵轴的格子一样，受到了启发。当你觉得比较烦，怎么简单，有就有，没有就没有。教师要做的，就是怎么把没有变成有，需要教学支撑。在前面折线统计图时，学生有意识的用数形结合的眼光去读图很重要。学生怎么想很重要，因此课上让学生自己提问。问题是生成于学生的，对于问题解决就有了内在的需求，于是有了例题的改变。 二、问题讨论 蒋徐巍：陈老师的内容是自己编的、是一个连续的内容。前面有单式的折线统计图。我想问陈老师，教学单式折线统计图和复式折线统计图时，在教学方式和侧重点上有什么区别？ 陈培群：我认为是相对稳定，可能知识反映的重点不一样。我的复式折线统计图里也有学生在单式统计图里应该有的掌握。在钟老师的课中我也看到了。 王文英（江苏省太仓市新区第二小学）：这个问题很好，单式折线统计图和复式折线统计图在教学方式和过程中有什么侧重点？我想肯定是有侧重的。在上之前作了一个调查，我们以为学生应该对折线统计图很熟悉（可能我们学校的特殊生源），但是试上了三次，只有一个学生说在股票上见过。其他学生都表示没有见过。这就意味着我们在教单式折线统计图时把步子放慢些。要和学生一起把单式折线统计图的“点”和“线”的作用研究透。只有把读透了单式折线统计图，复式折线统计图的学习才能顺势而学。钟老师通过“点已经能够表示数量的多少，为什么还要练成线”这一核心问题，让学生较深的体会到折线统计图的作用和价值，这一核心问题的提炼非常准确。 陈老师的课很有特点，首先，她的设计很大气，给了学生一种观察事物的视角；第二，她注重培养学生的问题意识，不断启发学生自己发现问题；第三，她特别注重对学生解决问题能力的培养。如：“我们先来想一想，当你有了思路的时候再和同学说一说”等等，包括最后的“龟兔赛跑”的问题设计，都体现了对学生解决问题能力的培养。所以，我觉得她的这节课，给了学生足够的空间，给了学生研究的素材，还给了学生成长的等待。 陈洪杰：我想问钟老师，整堂课上下来，跟你试教时，学生的反应有什么不一样？哪些是预设上没有的？这堂课上出来的新的状态，哪些处理成功？哪些与预设不同，处理的不到位？ 钟长军：学生对四张折线统计图的观察很到位，直接说到了点和线；第二个学生在对线的作用的体会也很棒，学生直接说到了趋势。课上通过只有点的呈现，通过边提问，边课件用线把点连接起来，学生通过观察就体会到了，我们的预设学生说不到趋势，可能学生只会说先上升再下降，今天学生直接说到了，是非常满意的地方。 然后在选择条形统计图和折线统计图时处理得比较急躁！应该在学生解决后，再点一点：第一张统计表描述的是四位同学的视力情况，是四个主角，只需要关注他们数量的多少,因此用条形统计图表示。第二张统计表反映的是一个人的变化情况，因此用折线统计图表示。这个应该在课上点一点，让学生更明确些。 陈洪杰：选择统计图是一个非常好的设计，可以培养学生对数据、对统计图，学生对知识的应用的背景的考虑，这是以往我们教学中比较缺的，孩子经常做的是，给他一个东西，他能够画表、画图，但孩子很少判断，什么时候该画表，什么时候该画图，这样的设计非常好，它也是可以迁移的。今天陈老师的课上有这样一个细节：你准备怎么解决这个问题，说思路，并预估方法是繁还是简。是说思路，而不是直接算、画，这一点非常的重要，孩子对知识点适用情景的敏感性。 钟老师说要点一下，我的想法，把四个同学的视力也呈现出折线统计图，让学生判断有没有道理。尽管有负面干扰，但如果呈现出来，是不是也是孩子们思考的东西，可以尝试一下。然后前面学生说到了趋势，很好。还有学生说到了点和线，这是预设到的，但是还有一个孩子说到了线条和数字，你怎么过掉了数字呢？所以我现在的问题是，如果要照顾到孩子说到了数字，你应该怎么处理？今天陈培群老师的课上，从单式到双式，陈老师在后面有回顾的。所以，钟老师，这个“数据”你准备怎么教？ 钟长军：学生出现数据的话，应该…… 徐燕（江苏省太仓市新区第三小学）：我认为，如果有数据，我们可以设想，钟老师在板贴时，点和数据应该结合起来看，从数形结合来考虑，点和数据应该结合起来看，点的作用就是为了描述数量的多少，数据不仅仅是数字，数据背后还有很多信息,这些就是我们需要培养学生的数据分析能力。 蒋徐巍：陈老师的课上学生也非常关注数据。但陈老师是更希望学生从形的角度来思考，陈老师的课上不停的让学生辨别数和形，在数形之间做转换。钟老师的课上，数据出来是很合理的。 王文英：因为学生对数很敏感，而对形不是很敏感的。钟老师为什么回避数据，因为点有两个含义，一个是从横轴上反应的，一个是从纵轴上反应的。一般纵轴上的是用数据来反映的，而横轴上的有的就不是用数据反应的，比如今天的例题上，横轴反应的就不是数据，有的两方面都是用数据反应的，有的一个是用数据，一个不是用数据的，可能今天课上没有一下子反应过来。 但是钟老师课上是应该要处理，让学生明确这个数据不是平时的数据，应该比平时看到的数据更加深远些，包括了两个方面，就是既要看横轴也要看纵轴。 蒋徐巍：陈老师你这节课上下来有什么补充的？有什么地方需要改进的？ 陈培群：第一个问题时，怎么直观比较，解决问题简单。处理过快，有个学生上来讲，没有讲完整很快就下去了，可能影响了后面整体观察，对交叉点的敏感性，更多的孩子可能不知道；数形结合，孩子怎么样在具体情境中解决问题，兼顾数和形，比如说南方和北方城市的题目，还可以进一步教学，应该放一点空间给孩子，应该还可以生成问题。 潘小明（上海市宝山区第一中心小学）：我问陈老师，我们的核心问题是哪个？ 陈培群：我想知道我们团队老师是怎么读的。 陈春苗（上海市青浦区佳禾小学）：陈老师的课以设计巧妙见长。陈老师核心问题是两张上海和吐鲁番温度统计图出来后，问题：哪些时间段上海气温高，哪些时间段上海气温低，让学生想解决问题的思路，思考你的思路是方便的还是繁琐的？ 杨爱军（上海市青浦区华新小学）：学生在解决这个问题的时候迫使学生想办法把两张单式折线图重合在一起，单式到复式过渡的过程，在这个问题的驱动下，让学生自己想办法，在想办法的过程中，考虑这两张图的特点，对学生来说，是有挑战的，需要在对单式折线统计图深入理解的基础上，包括前期复习时相同的特点，横轴纵轴，为学生思路的拓展是有伏笔的，学生在理解单式的基础上想思路，与同伴进行比较、反思，在这个过程中解决了问题。通过这个问题引领了整节课的教学。 夏权（上海市闵行区华坪小学）：从教材组织上看。陈老师的复式不是直接呈现给学生，而是在单式的基础上自然而然的让学生经历单式到复式的过程，学生的问题产生了，怎么去解决，解决的过程中，使学生对前后知识有关联。 钟老师今天是单式折线统计图，单式之前学习了单式条形统计图，已经对数据敏感了。那今天学生对数据是敏感的。不用过于强调。这已经不是学生的阻碍了。钟老师很好的抓住趋势两个字。请问,一个同学说了趋势，是不是所有的学生都能体会趋势？这里面是不是要追问呢？ 顾春文（上海市宝山区第二中心小学）：陈老师的核心问题：上海和吐鲁番两张图，具体比较中，你能提出哪些问题。有个关键词：比较。没有比较哪有问题，因此核心在这里：比较，形成问题块。 陈培群：我在备课时没有刻意想。 王文英：陈老师这节课的核心问题不是具体的某一个问题。复式折线统计图的价值，不单单是比较。有个非常好的设计，就是关于小胖的成绩，一开始，学生认为小胖最差的成绩是84分，可是在最后出示复式折线统计图后，恰恰84分是他考得最好的。这就是复式折线统计图它深远的意义的所在，比较是直观的意义。我认为这节课的核心问题是：复式折线统计图的价值到底是什么。 潘小明：王校的核心问题，课上没找到，学生没有提到，老师没有讲到。我好像不是很赞成。 王文英：核心问题有隐性的，也有显性的。如果陈老师在最后能稍稍总结下，学生会体会更好。 陈培群：王校说的是我这节课的核心所在。复式折线统计图应用价值的体会不想贴标签，更多的贯穿在题目中，后面教学中还会有。潘老师的核心问题较具体。 潘小明：这节课学生围绕着什么在思考，我想这个就应该是这节课的核心问题。我感觉哪个时间段上海和吐鲁番的温度比较。学生去思考，解决问题，我个人认为这是核心问题。但是我也有困惑，核心问题应该是统领整节课的，核心问题的要素，是基于学科的问题，是基于学生困惑的地方，是能够统领起整个的一堂课。如果假定那是核心问题，但出现得太迟。我在想着前面的东西是否可以简单些甚至去掉。我想问的是陈老师你为什么舍不得前面，在这里派什么作用？ 陈培群：今天的课是非正常的教学，是借班教学，是没有衔接的两节课，所以前面的复习引入，如果是正常的教学，应该是一个很快的过程，在单式折线统计图中，如何用数形结合的眼光读单式折线统计图，学生应该有一个很好的养成，如果我正式上，这个头我是要用的，为后面作一个伏笔，这个时间长短和教学非正常有关。 潘小明：你的数形是为复式作迁移，埋下伏笔。一开始的菠菜、成绩的图分析，到最后的出示两幅图。那一开始的时候，学生就想到菠菜会中毒，没有想到可以冷藏，学生一开始就想到成绩起伏很大，想不到一次次试卷的难度系数不同，想不到班级整体看，是不是需要更高的一个层面，学生的思维品质。 提问钟老师,陈老师的课上，是从单式到复式的。钟老师课上，条形的到折线的，学生体会不是很深。陈老师的课，单式不行了到复式，是新知识是从旧知识上生长出来的。那么钟老师的课能不能也这样，条形的不行了引出折线，折线的不同在哪里，它特别的作用在哪里？从对比中产生冲突，产生需要，引入新课的探究，再到最后的比较，会不会更好？ 钟长军：我在处理得时候没有凸显。先有条形，过渡到只有点没有线，其实就是想解决潘老师的这个问题。点已经像条形统计图的条形的作用一样了，为什么还要把点连起来？其实就包含了两点，一个是把条形统计图和折线统计图勾连起来，第二个“线”的作用又解释了条形统计图起不到的作用。 王文英：潘老师的意思是你能不能通过某个情景，发现条形统计图不合理，然后产生新的统计图形式，这个形式就是折线统计图。潘老师的意思就是这个过程能不能让学生更自主些，让学生发现这个问题。 蒋徐巍：这是两种引入的方式，钟老师的方式是给出数据，让学生表示数据，先是统计表，是学生学过的，条形统计图，也是学生学过的，然后钟老师在此基础上直接呈现折线统计图；潘老师的意思是不是从学生已有的基础上从对比上激发学生去学习折线统计图。这是两种不同的引入方式。大家在教学中是怎么运用的？ 张秋霞（江苏省太仓市新区第二小学）：学生能不能从条形统计图的局限性从而产生学习新的统计图的需要？潘老师的问题问的很好，我们想的时候也思考过，但是怎么引入呢？这个素材的引入很是困惑，陈老师的课从单式统计图不能很好的比较，引入复式统计图，这是很自然的。然而从折线统计图到条形统计图,我们没有找到合适的素材,所以没有选择从折线统计图引入。那请教潘老师有没有好的方法？ 潘小明：我在提问的时候，就在思考这个问题。课上，从“心跳”，为什么要从条形到折线。孩子们会对老师的行为作怎样的思考。如果没有把这些问题呈现出来，孩子会有怎样的问题。素材的选择确实是个问题。 我在想，剧烈运动心跳一下子提高，1500米跑后马上坐下来会有危险。他跑完后是不是要扶着他走，要扶多久？我就很想知道心跳的走势图的问题。我要想办法让学生产生问题，他有了问题才能学习。 张秋霞：如果说单式折线统计图是种子课，那么陈老师的复式折线统计图属于生长课。在生长课上，学生是容易萌发一些新问题的。我想请问潘老师，那如果学生发现不了问题，那么课堂上老师是不是需要一直等待？ 我想问题教学的课堂，并不是所有的问题都要学生自己提出，教师设计有价值的问题，让学生去探索，这也未尝不可。 潘小明：种子课的种子是谁播下去的？老师认为种子非常重要。条形统计图已经能反映心跳了，干吗还要用折线？这条线有什么作用？能告诉我们什么？这就是这节课最本质的地方。 王文英：潘老师的想法很好。我们这节课，核心问题很清晰。我们也可以再作思考，能不能让学生来发现核心问题。 潘团队：钟老师课上，1分钟的心跳、2分钟的、3分钟、4分钟的……1分钟和2分钟之间的变化是怎样的？1分钟是一百十几，2分钟的时候是一百多少，两个点之间是怎么变化的？还是突然之间从1分钟的105直接到2分钟的100，1分钟的105问学生变化是怎样的？因为条形是看到这个点，好像是没有联系的，没有趋势的？ 潘小明：1分钟是几跳，1分05秒是几跳？1分10秒几跳？1分15秒是几跳？……把一条一条都弄上来，出示很多很多的条，要反应这个问题需要画多少条？连条线不就可以看出来了吗？让学生发现只要用折线就好了，从这个角度思考就好了。 陈洪杰：我们怎样让孩子觉得，当我们把1分钟和2分钟连成折线的时候，中间的折线是个估计量。当1分半的时候，是不是连的这条折线的上下前后都无所谓，在现实的情境中，肯定不会出现很大的波动，所以折线统计图，当两个点一连的时候，就产生了一个新的功能，就是估计和预测的功能，而表格是没有这种功能的，它是基于现实生活中的一个前提，这个连线是假设的线，如果要得到真正的线，就得像潘老师说的那样，每一点取一个点，它可能就不是这样的一条折线，而是会有一些很小的折线，怎么让孩子觉得有估计的趋势，在心跳的这个问题中，问1.5分钟的时候心跳是多少下，我觉得可以问。1分钟110下，是一个时间段的量，这个速度可以理解成是个即时点的速度。在1分钟的时候它的速率是110,2分钟的时候速率是100，怎么估计1.5分钟的时候呢？一般理解在线的当中。有可能让学生体会新的东西产生了。这样就可以实现条形统计图到折线统计图的一个切入。 第二个我想说的是：表到统计图，核心的问题是何以会发生这样的进化？我们在课堂上教的时候要教折线统计图的时候，我就要教折线统计图的意义和功能，他的优点长处，在前面学条形统计图的时候，是不是也是这种逻辑，我们的条形统计图的好处长处，在学统计表的时候也说长处好处，我们在学新的内容的时候，就说前面的内容不好，变脸太快。我的意思是我们可不可以教他们一点上位的概念，孩子在数学课上会接触各种数据。对数据有不同的表征，对数据的表征回到现实生活中进行解释和运用。这堂课上位的概念就是对数据的表征、理解和运用。我试着概括出4个问题：1.什么事数据；2.干什么用？3.怎么呈现？4.为什么呈现。这是教所有的表格、条形、折线、复式的背后所隐形的一个问题串，如果我们这么统整的话，落实在教学上，可能会怎么样？今天钟老师的课上，心跳出示数据后，说我们可以用表格，条形统计图，当钟老师问还有其他方法吗？有孩子说到画正字。画正字不也是一个方式吗？就是说用什么方式的选择应该和干什么联系在一起，教学中如果把画正字也出来，甚至有其他的方法，多元的方法也出来，然后在前期的教学中，有这样一种：数据干什么用？怎么呈现？内容和形式渗透了，那么我们整堂课的推进，可以是“拖泥带水”的，这个拖泥带水是始终兼顾着学生更多的生成。包括后面让学生回答有什么用的时候，看出趋势，折线统计图是更方便画。我们学习某个东西的时候要等量齐观和沟通的时候，学生会更好的辨别。不同的统计图有不同的范围，定位上让学生更上一层楼。另外我们的教学结构上，从单式到复式，要有类推迁移。 前面追问陈培群老师的核心问题是什么，为什么追问？我们可能觉得课堂教学的结构就是一个环节一个目标，在这样的环节中应该有一个核心的问题，这个问题和下一个环节的问题，不管是问题的形式还是环节本身，界限是很明显的，但真正的教学，其界限是不明显的。钟老师的课和陈老师的课课堂推进的逻辑是不大一样的。陈老师的话有很多这样的话语：你们真会表达！说着说着就会说了！自己记录，用关键词记录，看得懂就行了！这就是在教一种方法，当孩子们有方法的时候，用自己的方法和老师的教学互动的时候，整个推进的时候，环节不是很清楚，找不大到核心问题，是一种思维的推进，陈老师的课上注重差异性，注重学生思维的表达。 蒋徐巍：台下的老师对刚才的问题想不想发言？ 王晚登（太仓市横沥小学）：请钟老师和陈老师说一下给两个班级的孩子上课，你们给他们带来了什么？他们需要什么？学到了什么？ 钟老师教给学生的东西特别多，学生学的东西很多，学生学得很扎实。如果非要像潘老师说的那样，陈老师单式不行了就复式了。我觉得我们的数学需要跳跃。钟老师的课学生已经知道了使用条形、使用折线，学生在课上已经知道了趋势，可以跳跃。线是怎么来的，一定要讲得那么细，有必要吗？讲多了就是高中的极限知识了。 陈培群：我比你更想知道今天的课堂给孩子带来了什么。我想让学生知道数学是有趣的，是需要思考的。 蒋徐巍：陈老师的课上学生的变化，从学生不会提问到会提问，陈老师带给学生的问题意识是很明显的。 钟长军：你的问题提得很好，很有深度。作为老师整个职业生涯都要思考。问题很大，需要一生思考。 陈洪杰：我知道这个学校很多都是民工子弟。从群的概念，很多学生的弱项就是表达，他们的自信和兴趣，在我们的课上给学生多一些表达自己的机会，让孩子们完整的说的机会，就像陈老师的问题串，就是让孩子们复述、让孩子们相互的评价，这样来表达，这是学生能带回去的。有一项研究说，老师讲孩子听，信息的接收度只有20%，但是孩子说给孩子听，他的信息接收度可以达到80%。今天我们可以带回去的，不仅有知识层面的东西，有操作层面的东西，视野要打开，让学生自己说，自己评价。到最后我们教的不是知识，知识必须要通过老师这样一个生命状态来进行转化，影响孩子的是有生命力的数学老师。 潘小明：这里面没有非要。就像我们课中出现得4个不同小朋友的视力和1个小朋友的视力，看哪个更适用就是更好。就像我们的课上哪个更符合实际就更好。这件事情需要我们共同去探讨。 | ![《教师生活365》网[师慧园]论坛](static/image/common/logo.png){kind=logo}
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