《九章算术》：语文和数学的融合

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《九章算术》：语文和数学的融合

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作者：温儒敏
     

几年前我编过一本《大学语文读本》（西安交大出版社出版），和一般大学语文不同，课文题材往整个中国文化拓展，覆盖面比较宽，涉及文学之外的诸多方面，包括哲学、历史、政治、科技，等等。这种新型教材因为涉及面宽，对老师的要求高，教学也比较难，但学生比较喜欢，能调动学习的主动性。如下我选登《大学语文读本》中“格物致知”单元的一课，是关于《九章算术》的。几乎所有大学生都知道《九章算术》，但可能99%没有接触过这本书。现在通过大学语文课让他们接触一下，读一读其中2节（《穿地》和《勾股》），会引发学生（特别是理工科学生）极大的兴趣：古人有没有数学思维？他们是怎样表达这种抽象的学问的？文言文能表达数学吗？这些有意思的思考，就把语文和数学结合起来了。下面我们先读课文，可以参考文后的注解来读，大致了解课文的意思即可：

《穿地》
今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何[url=http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn1][1]？
答曰；为坚七千五百尺。为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之[2]，求坚，三之，皆四而一[3]。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。
城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术[4]。
术曰：并上下广而半之[5]，以高若深[6]乘之，又以袤[7]乘之，即积尺[8]。
《勾 股》[9]今有勾三尺，股四尺，问为弦[10]几何？答曰：五尺。今有弦五尺，勾三尺，问为股几何？答曰：四尺。今有股四尺，弦五尺，问为勾几何？答曰：三尺。
勾股术[11]曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦。又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。

      大家参考注解读完2篇“九章算术”，对这部古代数学著述就有了一点感性的了解了。
      现今大家学习的数学，主要来自西方，特点是重视概念与推理，其成果以定理的形式来表达。但是大家从历史书上知道的《九章算术》却很特别，它着重应用计算，算法表达不是用数学符号，而是用文言书面语言阐述。也就是说，中国古代的数学是用语文方式表达的。今天我们广泛使用着的数学术语，例如“加减乘除”“公约数”“余数” “几何”“方程”“勾股弦”，等等，中国古代数学典籍里早就有。举个例子说，“除”的本义是“陛阶”，也就是庭堂前的台阶，台阶的是一级一级平均等高的，所以“除”又引申为“等分”，用以表述数的等分。数学和语文就这样结合起来了。
      阅读《九章算术》我们会有独特的感受，从这些典籍里，可以窥探到古人如何把日常生活中数的现象抽象为数的运算思维，了解古代数学的语文表达特征，以及《九章算术》在世界数学史上的地位。注意不要用现代数学去简单附会，附会可能轻而易举就知道那些今天看来很简单的数学问题，但你就难于了解古人的思维习惯了。
      《九章算术》是我国现存最古老的数学专书，作者不详，成书年代大约在东汉初年（公元1世纪），但它的内容应当是两周时代逐步积累的。[12]《九章算术》足于和欧几里得《几何原本》媲美，两者既是世界数学史上的奠基石，又是现代数学的两大源头。《九章算术》搜集了246道生产实践中较实用的数学问题及其解法，依照问题的性质和应用领域，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。其中有多个方面是世界上最早发现的。如“方田”章记载的四则运算，已经有最小公倍数的概念，比13世纪意大利数学家斐波纳契（Fibonacci）发现最小公倍数要早1400多年。书中对分数和负数的记载，也是世界上最早和最系统的。
在当今，用汉语书面语来表述抽象的高难度的数学问题，已经难以适应。但1900多年前《九章算术》的精彩的内容及其所显示的智慧，仍然让我们惊叹，古代数学的思想和精神，对我们仍然有激励和启发。

      最后，大家可以做2个练习：
      一、根据《穿地》叙述画出立体图，并用现代算式解这道题。
      二、阅读《九章算术.均输章》两道题：“今有不善行者先行十一里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。”又，“今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。”将两道算题列成现代数学运算式，算出得数，看是否与《九章算术》的“答曰”一致。

      如果哪位同学对《九章算术》还有进一步学习的兴趣，建议找一本书来看看。就是白尚恕的《九章算术注释》（科学出版社1983年版），该书对《九章算术》重新校勘，并采用了现代数学的表达方法加以注释。

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注释
[1] 坚：指夯实的土。下文说”穿地四……为坚三”，意思是夯实的土体积只有一般土地的四分之三。壤：土壤，指经过耕种变得松软的土地。下文说“穿地四，为壤五”，意思是一般土地的体积只有松软土地的五分之四。

[2] 五之：乘以五。下文“三之”即乘以三，“四之”即乘以四。

[3] 四而一：被四除。下文“五而一”即被五除，“三而一”即被三除。

[4] 城：城墙。垣：房屋的墙。堤：堤坝。沟：水沟。堑：护城河。渠：渠道。这些在古代都是土木工程。城、垣、堤是用土夯成的，属于坚，沟、堑、渠是挖成的，属于穿地。这些工程的体积的计算方法都一样。术：《九章算术》的程式化用语，即计算方法。

[5] 并：加在一起。上下广：即城的横断面的上底和下底。广，即宽。半之：取其半，即被二除。

[6] 高若深：如果是筑上去的，即高度；如果是挖下去的，就是深度。

[7] 袤：长。

[8] 积尺：体积。这是求锥台的体积，综上可得公式：[（上底+下底）÷2）×高×长。

[9] 本文选自《九章算术》卷九“勾股”。勾，曲。股，人的肢体。勾股即人体的上下肢屈曲成直角。古典数学以“勾股”为直角三角形的称谓。“勾”以称短直角边，“股”以称长直角边。

[10] 弦：以弓弦喻斜边。

[11] 勾股术：即直角三角形的解法。上文即我们常说的“勾三股四弦五”，下文即我们常用的公式。a2+b2=c2。

[12] 《周礼》记载，西周负责教育的官员是保氏，他的任务是“养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数”。